авторефераты диссертаций www.z-pdf.ru
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
 

На правах рукописи

Чыонг Ван Хуан

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ ОБТЕКАНИЯ ПРЯМОГО

КРЫЛА

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Тула - 2015

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Владимир Иванович Желтков, Доктор физико-

математических наук, доцент.

Пшеничнов Сергей Геннадиевич, доктор физи-

ко-математических наук, старший научный со-

трудник, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносо-

ва, ведущий научный сотрудник.

Шоркин Владимир Сергеевич, доктор физико-

математических наук, профессор, ведущий науч-

ный сотрудник ФГБОУ ВО «Приокский государ-

ственный университет», г. Орел.

2

Работа выполнена в ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет».

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

г. Пермь

Защита диссертации состоится «11» января 2016 г. в 14 часов на заседании дис-

сертационного совета Д212.271.02 при ФГБОУ ВО «Тульский государственный

университет» по адресу: 300012, Тула, просп. Ленина, 92 (12-105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВО «Туль-

ский государственный университет»

http://tsu.tula.ru/science/dissertation/diss-212-271-02/chiong-vh/

Автореферат разослан «17» ноября 2015 г.

Ученый секретарь

Толоконников

диссертационного совета

Лев Алексеевич

Однако в аэроупругости поло-

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Классическая теория аэроупругости имеет дело с

напряжением и деформацией упругого тела под действием заданных внешних сил

или перемещений. Обычно принимается, что деформация мала и не влияет суще-

ственно на действие внешних сил. В таком случае мы часто пренебрегаем измене-

ниями в размерах тела и основываем наши расчеты на его первоначальной форме.

Так, в задачах изгиба или выпучивания колонн, пластин или оболочек считаются

заданными внешние нагрузки и граничные связи.

жение иное: нагрузки зависят от деформаций объекта исследований, что суще-

ственно меняет тип краевой задачи.

Специфические трудности флаттерных задач вызваны тем, что аэродинами-

ческие силы, вообще говоря, не могут быть достаточно просто выражены через

возмущения обтекаемой поверхности. Однако в области больших сверхзвуковых

скоростей возможны существенные упрощения, основанные на асимптотических

свойствах сверхзвукового потока. Наиболее простой вариант теории сверхзвуко-

вых потоков известен под названием «закона плоских сечений» или «поршневой

теории»; он приводит к формуле, связывающей местное давление на тело с нор-

мальной компонентой скорости поверхности в рассматриваемой точке. Полагая

возмущения малыми, можно эту формулу линеаризировать. Тогда многие задачи

панельного флаттера можно свести к исследованию собственных значений неко-

торых обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами. Наряду с этим были применены приближенные методы, осно-

ванные на сведении упругой системы к некоторой конечномерной системе.

Аэроупругость рассматривает крыло и набегающий поток как единую си-

стему, содержащую и деформируемое тело (ДТТ), и жидкость (газ). В то же время

возможна декомпозиция ее на две подсистемы, математические модели которых

могут быть разработаны независимо друг от друга. В моделях МДТТ естественно

выделить модель жидкости (газа) как внешнюю среду, и заменить их действие на

ДТТ силами и моментами, распределенными по его поверхности. Взаимосвязь

внешней среды и объекта исследований может быть реализована двумя способа-

ми: учитывать влияние деформаций объекта на аэродинамические силы или нет.

Второй подход используется в прикладной аэродинамике, когда объект считается

абсолютно твердым. В ряде работ по аэроупругости внешние нагрузки связывают-

ся с моделью набегающего потока. В то же время при трансзвуковых скоростях в

настоящее время, видимо, не существует общепринятой теории обтекания, позво-

ляющей достоверно описать внешние нагрузки. Например, упомянутая «поршне-

вая» теория может быть использована только при больших сверхзвуковых скоро-

стях.

В то же время модель потока в этом смысле может быть построена и на ос-

новании продувок профилей, аэродинамических поверхностей и летательных ап-

паратов в целом (или их физических моделей). Результатами этих исследований

являются графики (таблицы), связывающие аэродинамические нагрузки со скоро-

4

стью набегающего потока и конструктивными параметрами объекта (удлинением,

сужением, стреловидностью и т.п.). Так как в экспериментальных исследованиях

нетрудно реализовать как до-, так и сверхзвуковые режимы обтекания, то модель

нагрузок, построенная на основании экспериментальных данных, позволяет рас-

сматривать все возможные режимы.

Примером такой модели может служить линейная аэродинамика, в которой

аэродинамические нагрузки представляются линейными функциями угла между

направлением набегающего потока и элементами обтекаемых поверхностей. Ко-

эффициенты линейной зависимости представляются экспериментальными зави-

симостями, а где это возможно – теоретическими кривыми.

Ряд современных беспилотных ЛА имеет раскрывающиеся крылья доста-

точно большого удлинения (~5 и более), имеющие симметричный профиль малой

относительной толщины. Вполне естественно для таких объектов применить тео-

рию стержней, соотношения которой существенно проще, чем для тонких пласти-

нок. Эта особенность позволяет надеяться на получение аналитических решений

для критических скоростей набегающего потока, особенно при использовании ли-

нейной теории стержней, основанной на гипотезах Бернулли.

Таким образом, можно сформулировать цель работы: разработать метод

определения критических скоростей обтекания длинного прямого крыла на ос-

новании теории стержней, учитывающей взаимное влияние простейших состоя-

ний: изгиба и кручения.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Произвести анализ существующих профилей крыльев большого удлинения и

способов описания действующих аэродинамических нагрузок в широком диапа-

зоне скоростей набегающего потока, как до-, так и сверхзвуковых.

2. Для крыла малой относительной толщины выбрать математическую модель и

привести ее к удобному для реализации виду.

3. Разработать способ определения критических скоростей, основанный на мате-

матической теории устойчивости.

4. Для ряда профилей с двумя осями симметрии произвести анализ зависимости

критической скорости дивергенции от относительной толщины профиля и меха-

нических характеристик конструкционных материалов

5. Установить зависимость изгибных и крутильных колебаний в различных режи-

мах обтекания.

Методы исследований основаны на аналитических решениях уравнений со-

стояния и численном определении собственных частот в зависимости от скорости

обтекания.

Научная новизна:

1. Метод численно-аналитического определения критических скоростей обтека-

ния крыла большого удлинения, основанный на представлении аэродинамиче-

ских коэффициентов экспериментальными кривыми в широком диапазоне ско-

ростей.

2. Определение критических скоростей для крыльев различных профилей.

5

На защиту выносятся:

1. Способ численно-аналитического определения критических скоростей об-

текания.

2. Реализация способа для различных профилей с двумя осями симметрии при

различных материалах крыла и относительных толщинах.

3. Анализ влияния крутильных колебаний на изгибные в различных режимах

обтекания.

Практическая ценность состоит в разработке и реализации алгоритмов опре-

деления критических скоростей и результаты их определения для конкретных

крыльев.

Достоверность результатов подтверждается корректностью аналитических

решений дифференциальных уравнений состояния, корректностью аппроксима-

ций исходных данных, применением современных способов представления ре-

зультатов.

Личный вклад автора заключается в приведении уравнений состояния к без-

размерному виду, удобному для реализации, разработке и реализации алгоритмов

в среде MathCad 14, анализе результатов расчетов.

Апробация результатов: Основные положения работы обсуждались на: XVIII

Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2013), Международной

конференции «Современные проблемы математики, информатики, механики»

(Тула, 2013), семинарах по механике сплошной среды каф. Математического мо-

делирования ТулГУ под рук. А.А. Маркина (2013, 2015гг.).

По диссертационной работе имеется 2 публикации в изданиях, входящих в

перечень изданий ВАК.

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех

разделов, заключения, списка литературы из 104 источников. Общий объем рабо-

ты 86 стр. машинописного текста, в том числе 78 стр. основного текста, содержа-

щего 91 рисунков и 12 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования,

сформулирована цель работы. Изложены основные положения работы по раз-

делам. Обсуждаются достоверность, научная новизна и практическая значимость

исследования.

В первом разделе

рассматриваются математические модели линейной

аэродинамики и модели тонких стержней, представляющих крыло. Комплекс этих

моделей представляет собой модель поведения крыла в потоке воздуха. Для опи-

сания геометрических характеристик такого крыла удобно использовать термины,

применяемые в авиации: удлинение, сужение и т.п.

В рамках этой диссертации исследуются прямые крылья симметричных

профилей.

Модель нагрузок - Как известно из курса аэродинамики, подъемную силу Y

и момент тангажа Mz принято выражать через безразмерныe коэффициенты подъ-

z

Динамика стержня, учитывающая депла-

нацию сечении. Рассмотрим упругий стер-

жень, имеющий форму прямого крыла. От-

несем это крыло к прямоугольной системе

координат Oxyz, направив ось Oz параллель-

но боковой образующей (Pис 1). Постановка

задач теории стержней, учитывающая де-

планацию сечений, принадлежит В.З. Вла-

сову. Основная его гипотеза: Контур профи-

ля не деформируется; осевое перемещение

точек, принадлежащих внутренней области

контура, определяется билинейной функци-

Pис 1

Схема приложения аэроди-намических

нагрузок к профилю. х, х – координаты

центра тяжести и центра давления;

М =Y(x – х ); a – расстояние между

центром тяжести и центром изгиба

ей.

Разрешающая система дифференциальных уравнений относительно компо-

нент перемещения и угла закручивания при учете инерции поступательного дви-

жения, инерции поворота вокруг оси симметрии профиля и инерции поворота во-

2

 qy( z,t )

EJ

(3)

Здесь u(z,t), v(z,t), w(z,t) –компоненты вектора перемещения центра тяжести

сечения, y(z,t), x(z,t), (z,t) – углы поворота сечения относительно осей у и х и

угол закручивания; r – расстояние от точки до центра тяжести сечения, d(z,t) –мера

депланации. A – площадь поперечного сечения, Jy, Jx – главные центральные мо-

менты инерции сечения, J - секториальный момент инерции сечения, ах– рассто-

яние между центром тяжести сечения и центром изгиба в направлении оси х,

qx…qz–компоненты распределенной вдоль оси нагрузки, m – распределенный

вдоль оси крутящий момент.

Задача о колебаниях крыла в потоке воздуха:

Отметим, что в силу толщины

крыла, намного меньшей его хорды, динамические явления, протекающие в плос-

4

2

z4

z2

6

емной силы Сy и момента тангажа Mz, которые в рамках линейной теории пред-

ставляются линейными функциями угла атаки профиля α:

.V

.V

2

2

Распределенные нагрузки на крыло определим по модели линейной аэроди-

намики, относя подъемную силу и момент тангажа к размаху косоли:

2

( 2)

L

2

L

2

Skp

V 2

Skp b

V

qy  Cy

; mz  M

.

2

2

Y  C

 Sk ; M  M 

 bA  Sk

( 1)

y

z

z

T

Д

z

Д

T

х

круг касательной к оси имеет вид:

4v

4v

2v

z4

z2t

t

EJ

J

A

 axA

x

x

2

2

4

2

t

2

J  J ax  a2A

x

y

y

.

 GJd

J

2

z2t

2u

2v

ay A

ax A

2

t

2

t

4J J

x

y

x

y

 mz( z,t ); Jd 

J  J

(ах=0), получим:

Skp

a V 2

Skp

a

 Cy

L

2

L

(4)

2

Skp

L

z4

Уравнение состояния (4) представляют собой дифференциальные уравнения ма-

тематической физики с постоянными коэффициентами. Для удобства решения

приведем их к безразмерному виду. С этой целью введем безразмерную осевую

координату  и безразмерное поперечное перемещение :

 z / L;  v / L. Уравнения (4) примут вид:

4

4

1 2

2

4

2

2

7

кости крыла, можно не рассматривать, так как жесткость крыла в этой плоскости,

значительно больше, чем в поперечной плоскости. Следовательно, колебаниями в

плоскости zx можно пренебречь. Полагая, что профиль имеет две оси симметрии

Здесь введено безразмерное время  t / T1, T12  L2/ E, число Маха набегающего

потока M  V / Vs и критерии подобия крыльев:

Jx

JdL2

J

L3Vs2ab

L5Vs2ab

AL

AL

Переходя от двух уравнений четвертого порядка по координате (5) к системе

восьми уравнений первого порядка, введем переменные: (,) – угол поворота

нормального к оси z волокна относительно оси х; х(,) – безразмерный изгиба-

ющий момент; (,) – безразмерная поперечная сила; (,) – безразмерная крут-

ка; (,) – безразмерный бимомент; z(,) – безразмерный изгибно-крутильный

момент. Введем вектор состояния крыла:

ψ(,)  

x

и перейдем к матричной форме записи:

ψ

2ψ

z(,)

(6)

(7)

и вектор нагрузок:

q 0

0 0 KbC( M )Μ

0 0 0 M ( M )Kt M

.

Уравнение(7) неоднородное; его решение можно найти в виде суммы фун-

даментального и частного решений. Для определения первого используем одно-

родное уравнение, сопутствующее(7):

ψ

2ψ

(8)

4v

z4

EJx

Jx

4v

2v

A

Cy

z2t2

t2

2

V

2

a V

2

b

 M 

2

z

a V

b

2

4

2

EJ

GJd

J

z2

2

Skp

4

Jx  Jy  M 

z2t2

t2

z

L

2

x

rx2 

rx2

4

2

2

y

y

(5)

2

2

z

z

 KbC( M )Μ  KbC( M )Μ.

4

2

2

2

x 2

2

2

 M ( M )KtM 

 M ( M )KtM.

r

 jxy

4

2

2

2

2

L2Jx Jy

2

4

2

4

rx 

; jd

; r

; jxy

;Kb 

; Kt 

21J

J

2EJx

2EJ

 Aψ  M

q

2

Введеные здесь матричные характеристики системы:

2

z

2

y

 Aψ  M

2

Так как материал крыла считается линейно-упругим, то решение (7) будем

искать, полагая свободные колебания (которые описываются этим уравнением)

 jd

( 9)

(10)

(11)

(12)

8

гармоническими незатухающими:

ψ(,) Ψ()eit ,

где i – мнимая единица,  - безразмерная частота свободных колебаний.

Метод исследования заключается в построении зависимости собственных частот

уравнения, которое получается при подстановке ( 9) в (8):

Здесь () обозначает дифференцирование по . Для решения этого уравнения

используем интегральное преобразование Лапласа. Для изображения получим:

*

0

Здесь 0 – вектор состояния в начале крыла – корневой хорде. Считая, что фюзе-

ляж жесткий, положим все кинематические компоненты вектора 0 равными ну-

лю, оставляя неизвестными силовые компоненты:

Ψ 0 0 x

 0 0

z( p)

Для определения неизвестных начальных параметров и частоты свободных

колебаний  составляется система однородных уравнений, выражающих гранич-

ные условия на свободном конце консоли – равенство нулю всех силовых компо-

нент вектора состояния. С этой целью составляются четыре однородных уравне-

ния, выбираемые из матрицы V(1) (это – оригинал матрицы V*(p), значение =1 –

конец крыла, концевая хорда) – конкретно, строки 3,4,7,8.

Во втором разделе рассматривается устойчивость при кручении прямого

крыла. Будем рассматривать пять симметричных профилей, для которых имеются

экспериментальные и теоретические зависимости производных аэродинамических

коэффициентов от числа М и конструктивных параметров (Pис 2).

Pис 2

Выражения для внешних нагрузок имеют вид ( 2): Для удобства использова-

ния в расчетах приведенные на Pис 3 данные были аппроксимированы методом

наименьших квадратов. Использовались аппроксимация Гаусса:

(13)

y

Ψ () A(M )  2MΨ ()

1

Ψ ( p)  pI  A(M )  2MΨ (0)  V*( p)Ψ

.

2

2

2

2

c1

c2

c3

 

c6

 

b

z

y

M b1

M b2

M b3

M b6

C( M )  a1  e

  a2  e

  a3  e

      a6  e

M ( M )  C( M ) ( xdA( M )  xT ); xdA  a  M  c

9

0.3

0.2

0.1

0

0.9

расчет - C.yα(c=0,01)

Аппр. - C.yα(c=0,01)

расчет - C.yα(c=0,025)

Аппр. - C.yα(c=0,025)

расчет - C.yα(c=0,05)

Аппр. - C.yα15(c=0,05)

1

1.1

M

Pис 4 Графики аппроксимации аэродинамиче-

ского коэффициента

(14)

p1  sh p1 p2  sin p2;V 24  V 13;

V31  b V13; V32  V21; V33  

Pис 3 Экспериментальные графики С зависят

от числа М, удлинения λ и сужения η

y

Оригинал матрицы фундаментальных решений находится аналитически:

1

1

V11ch p1 p22  cos p2  p12; V12

sh p1 p23  sin p2 p13;

Z

Z

2

2

2

Z b

Z  b

Z

Z

2

b  Z

1

ch p1 cos p2; V14

1

V13

p2  sh p1 p1  sin p2;

V21  b V 14;V22  V11; V23  

b,M  MM  KtH  M  2  jxy

p12  ch p1 p22 cos p2

V34  V23; V41  b V23;

 p22ap1  b sh p1 p1

V43

V42  V31;

b  2ap2 sin p2;

V 44  V 33;

Z  p.1  p2 ; p1 

a2  b  a; p2 

a2  b  a;2  a jd  2 ;

2

z

Удовлетворяя граничным условиям при =0, положим два начальных пара-

метра а0=0 и а0=0, а для существования нетривиального решения потребуем ра-

венства нулю главного определителя однородной системы уравнений, определя-

ющей граничные условия на конце консоли:

Главный определитель также выражается аналитически:

b

(15)

Трансцендентное уравнение D22(,M)=0 решается относительно , напри-

мер, методом половинного деления для различных М, а, b. Значение М, при кото-

ром k(М)=0, k=1,2,3…, и есть критические безразмерные скорости обтекания

прямого крыла, или скорости дивергенции.

Типичные зависимости первых четырех собственных частот от числа М

приведены на рис. 5. Значения критических чисел М приведены в табл. 1…табл 2.

chp1

 2a2

D22,M

 b cosp2 a b  thp1sinp2

chp1

2a2  b

Профиль Pис 2в

1

2

3

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M

Профиль Pис 2д

1

2

3

4

500

500

0

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

M

M

Материал крыла: Cталь

Табл 1

Профиль

Материал

Сталь

Титановый сплав

Алюминиевый сплав

Pис 2б

относительная толщина c

Pис 2в

0,01

0,025

0,5

0,964

0,407

0,886

0,319

0,78

относительная толщина c

0,05

26,234

20,343

15,798

Табл 2

0,01

0,293

0,233

0,18

Pис 2г

0,025

0,749

0,671

0,577

Сталь

0,05

13,926

10,808

3,89

10

Профиль Pис 2б

1

2

3

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M

Профиль Pис 2г

1

2

3

4

Профиль

δ

5.10-3

7.5.10-3

1.10-2

Профиль

δ

5.10-3

7.5.10-3

1.10-2

Pис 2д

относительная толщина c

относительная толщина c

0.01

0.025

0.05

0.01

0.025

0.937

0.957

0.963

Pис 2д

0.05

18.98

21.66

23.5

0.293

0.711

0.309

0.739

0.395

0.746

9.77

11.30

12.34

Титановый сплав

0.501

0.521

0.615

Pис 2г

относительная толщина c

относительная толщина c

0.01

0.025

0.05

0.01

0.233

0.633

3.585

0.407

0.245

0.661

8.77

0.425

0.317

0.669

9.58

0.521

0.025

0.05

0.839

14.73

0.873

16.75

0.885

18.15

3

3

3

3

410

310

210

110

3

3

1.5 10

110

3

3

3

3

410

310

210

110

3

3

3

210

1.5 10

110

Pис 5. Зависимость собственных частот от числа М. c  0.01 и  7.5 103 (Pис 2 г, д)

Профиль

δ

5.10-3

7.5.10-3

Pис 2г

0.179

0.533

0.189

0.565

0.245

0.575

Pис 2д

относительная толщина c

относительная толщина c

0.01

0.025

0.05

0.01

0.025

0.05

2.74

0.319

0.743

11.09

3.15

0.333

0.769

12.66

3.26

0.415

0.777

13.70

1.10-2

Таким образом, предлагаемая методика определения критических скоростей

прямого крыла симметричного профиля, реализованная на программном комплек-

се MathCad 14, позволяет достаточно просто получить оценки критических скоро-

стей обтекания для различных параметров геометрии профиля. Требуемые исход-

ные данные – зависимости аэродинамических производных от числа М набегаю-

щего потока – могут быть получены либо из литературных данных, либо аппрок-

симацией результатов продувок профиля в аэродинамических трубах.

Результаты расчетов показывают, что критические скорости дивергенции

возрастают при увеличении крутильной жесткости крыла.

В третьем разделе исследуем изгибные колебания тонкого крыла для профи-

ля с двумя осями симметрии, учитывая влияние на них крутильных колебаний.

Рассмотрим уравнение изгибных колебаний:

11

Алюминиевый сплав

(16)

Отметим, что это уравнение – линейное неоднородное, причем неодно-

родность порождается не только наличием балансировочного угла атаки , но

и крутильными колебаниями – углом закручивания . Для решения этого урав-

нения применим метод модального разложения.

(17)

(18)

1

Z

1

Z

1

Z  a

1

Z

a

4

4

1 2

rx 

2

 KbC( M )Μ

y

4

2

2

2

2

Рассмотрим однородное уравнение изгибных колебаний:

4

4

1 2

rx2 

Матрица фундаментальных решений находится аналитически:

 0

4

2

2

2

P22 coshP1  P12 cosP2 ;V1,

1,2

1

Z 

P23  sinhP1  P13  sinP2 ;

V1,

1,1

1,3

coshP1  cosP2 ;V1,

1,4

V1,

P2  sinhP1  P1  sinP2 

V1, a V1,; V1, V1,;V1,

P1  sinhP1  P2  sinP2 

2,1

0,3

2,2

1,1

2,3

V1, V1,;V1, a V1,; V1, V1,

1,3

1,3

3,1

1,3

3,2

2,1

1

Z

P12  coshP1  P22  cosP2 ;V1, V1,

; V1, a V1,

3,4

1,2

4,1

3,4

a

a

V1,

3,3

1

Z



 P2  P1 b sinhP1 b  P2 

 P1 sinP2 

V1, V1,; V1,

4,2

3,1

4,3

4,4

3,3

V1, V1,; Z 

b2  4  a

1

2

P2 

Уравнение (19) определяет спектр свободных изгибных колебаний крыла.

Расчеты проводились для крыла с удлинением =10 и относительными

c  0.05; 0.1; 0.15; 0.2 . Материал крыла

=7850 кг/м3, =0.3. Геометрические характеристики двух профилей – ромбо-

видного (Pис 2б) и "трапециевидного" (Pис 2в), параметр трапециевидного

профиля а = 0,8. Зависимости определителя (19) от безразмерной частоты 

- сталь 3: Е=200 ГПа,

толщинами

при относительной толщине c  0.05 приведены в Табл 3.

Табл 3

ct  0.05

Собственные частоты

1

2

3.516017

22.034339

61.695739

120.895688

3.516018

22.034203

61.694428

120.890152

Профили

Pис 2б

Pис 2в

12

Для определения частот свободных изгибных колебаний имеем уравнение:

2

3

4

Для каждой собственной частоты следует найти начальные параметры

как нетривиальные решения однородной системы уравнений:

(20)

Ранг этой системы равен 1, так что один из начальных параметров можно за-

дать произвольно, например, положить х0=1. Тогда, исключая второе уравне-

ние, и определяя 0 из первого, получим:

(21)

x0.

Чтобы исключить произвол в выборе параметра х0, учтем, что для опре-

деления частного решения уравнения (17) базисом разложения угла закручива-

ния в сходящийся ряд является нормированное безразмерное поперечное пере-

мещение а(,k):

(22)

Это условие служит для определения k0:

 12 ; P1 

1

2

 12 

4  1 2

2

14 

r

2

P2

P22

 cosP2

2rx2  2

cosP2



rx2

1 

 1

 2



2 

V1(1, )3,3

V1(1, )3,4

coshP12  

 coshP1

coshP1

coshP1

2

 0 

 0

P12

P1

V1(1, )4,3 V1(1, )4,4

2rx2  4

2

sinhP1sinP2

(19)

rx2

1 

 1

 rx

2 

coshP1

2

4  12

2

1 4 

r

V1(1,k )3,3 V1(1,k )3,4

x0

0

 0, k 1,2,3,4.

  

V (1,k )4,3

V1(1,k )4,4 

0

1

V1(1,k )3,3

V1(1,k )3,4

0  

1

0

1,k  m

a

,k a,m d 0,k  m, k,m  1, 2, 3...

(23)

Здесь для вычисления поперечного перемещения использованы выраже-

ния для компонент матрицы фундаментальных решений (18) и выражение для

0 через х0 (19).

На следующих рисунках показаны компоненты собственных состояний

крыла при изгибе – безразмерное поперечное перемещение, угол поворота се-

чения, безразмерный изгибающий момент и безразмерная поперечная сила –

для первых четырех собственных частот. Следует отметить, что вид зависимо-

стей собственных состояний от координаты  универсален для любого профи-

ля; отличаются только собственные частоты.

Pис 6.: Состояние прогиб

Pис 7.: Угол поворота нормали

Pис 8.: Безразмерный момент

Pис 9.: Безразмерная поперечнаясила

Приведенные на Pис 6 нормированные формы свободных изгибных ко-

лебаний в силу теоремы Стеклова образуют полную ортонормированную си-

стему функций и могут быть использованы как базис для разложения правой

части уравнения (16).

Таким образом, для профиля с двумя осями симметрии изгибные движе-

ния являются вынужденными, так как угол закручивания крыла входит только

в правую часть уравнения крутильных колебаний; число М набегающего пото-

ка не влияет на коэффициенты уравнения, которые зависят только от геомет-

рии крыла. Собственные частоты изгибных колебаний существенно ниже, чем

крутильных, что следует из меньшей величины поперечного момента инерции

профиля по сравнению с моментом инерции при кручении.

Чтобы выяснить характер изгибных движений, определим импульсно-

переходные характеристики при изгибе крыла, полагая, что в докритической

13

V1(1,k )3,3

V1(1,k )3,4

1

k0 

(,k )1,3 

1

V

0 

1 2

2

V1(,k )1,4  d

.

( 24)

2rx

Здесь k – собственная частота изгибных колебаний по упругой модели,

L – длина консоли, Е, , - модуль Юнга, плотность и вязкость материала кры-

ла. Реакция крыла на моногармоническое воздействие определяется интегра-

лом Дюамеля:

( 25)

0

Опуская переходный процесс, рассматриваем только установившуюся

часть решения, которая имеет вид:

14

области обтекания (ММкр) возможен резонанс между изгибными и крутиль-

ными колебаниями, причем последние играют роль возмущающего гармониче-

ского фактора. Так как в соответствии с упругой моделью крыла резонансные

амплитуды бесконечны, то учтем вязкоупругие свойства конструкционных ма-

териалов по модели Фойгта, причем вместо вязкости  используем логарифми-

ческий декремент , пропорциональный вязкости, и легко определяемый в

опыте.

1

2

k  k

k

Здесь k – собственная изгибная частота вязкоупругого крыла, 1кр – пер-

вая собственная частота крутильных колебаний. Резонансная частота и ампли-

туда изгибных колебаний вычисляются по формулам:

1

2k

( 27)

.

k

Отметим, что данная амплитуда – безразмерная в том смысле, что она от-

несена к амплитуде возмущающей подъемной силы:

1

( 28)

0

где 0 – амплитуда крутильных колебаний по их первой форме, 1( ) –

первая нормированная собственная форма крутильных колебаний, 1() - пер-

вая нормированная собственная форма изгибных колебаний.

На приведены амплитудно-частотные характеристики первых четырех форм

изгибных колебаний, в табл. 6 – резонансные амплитуды.

k

2 L2

L

 

Wk  e  sink,

2

k

E

E

4 

, k 

.

E E

k

k 

2

W

ak

Pkd

k

ak t  Ak sin1кр,

( 26)

1

2

2

k : Aрез 

рез

кр 

2 1

A  KbC( M )

1d.

2

y

1,1



0.5

2k1кр

2

2

2

2

2

2

2

2

A k  k  1кр 4k 1кр 

,  arctg

2

k  k  1кр

Табл. 6

Зависимость относительных резонансных амплитуд от логарифмического де-

кремента материала

NO собственной частоты изгибных колебаний

1

2

3

4

0.1

0.2

0.3

0.4

1.483

0.742

0.494

0.371

0.227

0.114

0.076

0.057

0.081

0.042

0.041

0.021

0.027

0.014

15

Рис. 13.

0.02

Влияние декремента на резонансные частоты очевидно – увеличение де-

кремента приводит к уменьшению резонансной амплитуды, что не противоре-

чит результатам других исследований резонансных процессов с демпфирова-

нием, пропорциональным скорости.

Механизм изгибных и крутильных колебаний профилей с двумя осями

симметрии при увеличении скорости набегающего потока может быть пред-

ставлен так:

при малых М, меньших 0.8Мкр, реализуются свободные крутильные колебания

по первой их форме, не сопровождающиеся заметными изгибными колебания-

ми. Затем, по мере приближения к Мкр, последовательно проявляются изгибные

колебания по третьей и второй формам с резонансными амплитудами ~10-1М2

амплитуды крутильных колебаний. При достижении числом М величины

~0.999Мкр развиваются изгибные колебания с частотой, близкой к первой соб-

ственной частоте таковых и амплитудой порядка (0.5…1.5)М2 амплитуды кру-

тильных колебаний.

По достижении критического числа М крутильные колебания переходят

в апериодический режим. При этом с изгибными колебаниями происходит то

же самое, так что крутильные колебания сопровождается «флаттером», кото-

рый является потерей устойчивости по Ляпунову начального состояния крыла.

Но частоты изгибных колебаний остаются вещественными, и такой флаттер

можно называть наведенным, или индуцированным.

0.01

16

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для профиля с двумя осями симметрии изгибные движения являются вынуж-

денными, так как угол закручивания крыла входит только в правую часть

уравнения крутильных колебаний; число М набегающего потока не влияет на

коэффициенты уравнения, которые зависят только от геометрии крыла

2. Собственные частоты изгибных колебаний существенно ниже, чем кру-

тильных, что следует из меньшей величины поперечного момента инер-

ции профиля по сравнению с моментом инерции при кручении.

3. Резонанс между изгибными и крутильными колебаниями возможен при

числах М, близких к критическому значению его, соответствующими ди-

вергенции крыла. При этом амплитуда изгибных колебаний резко возрас-

тает, так что дивергенция сопровождается «флаттером», который не яв-

ляется потерей устойчивости в смысле перехода изгибных движений в

апериодический режим из-за смены типа корня частотного уравнения.

4. Причиной потери устойчивости по изгибу является апериодический ха-

рактер изменения угла закручивания, так что такой флаттер следует

называть наведенным или индуцированным.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В

РАБОТАХ:

1. Желтков В. И, Чыонг Ван Хуан. Движение стержня в потоке газа // Мате-

риалы международной конференции «Совр. пробл. математики, механи-

ки, информатики». Тула. 2014. - С. 283-290.

2. Чыонг Ван Хуан. Определение критических скоростей при обтекании

прямого крыла // Научный альманах. 2015. N 9(11). С. 922-927.

3. Желтков В. И, Чыонг Ван Хуан. Определение критических скоростей

прямого крыла большого удлинения // Известия ТулГУ. Естествен-

ные науки. 2014. Вып. 3. – С. 71-80.

4. Чыонг Ван Хуан. Определение критических скоростей при обтекании

прямого крыла // Фундаментальные и прикладные проблемы техни-

ки и технологии. 2015. № 5 (313)-2015. –С. 190-196.

Изд.лиц.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 03.11.2015

Формат бумаги 60х84 / . Бумаги офсетная.

Усл.печ.л. 0,9 Уч.изд.л0,8 Тираж 100экз. Заказ

Тульский государственный университет.

300012, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ.

300012, г. Тула, просп. Ленина, 95.

1

16



Похожие работы:

«Симонов Дмитрий Павлович Дешифрирование природных территориальных комплексов по многозональным космическим снимкам высокого разрешения (на примере растительности) 25.00.34 – Аэрокосмические исследования З емли, фотограмметрия Автореферат диссертац ии на соискание ученой степени кандидата технических наук Новосибирск – 2015 Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования Сибирский государственный университет геосистем и...»

«3 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В настоящей работе рассматриваются течения высокой степени динамической неравновесности. Под термином динамическая неравновесность понимается такое состояние газа, при котором энергия теплового движения молекул существенно неравномерно распределена между их степенями свободы. Разработка методов описания течений высокой динамической неравновесности относится к числу наиболее актуальных задач современной аэромеханики и газовой динамики. Одной из...»

«Прикладова Мария Александровна ПРОБЛЕМА СТИЛИСТИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ИСПАНСКОЙ СКУЛЬПТУРЫ СЕРЕДИНЫ-ВТОРОЙ ПОЛОВИНЫ XVII ВЕКА Специальность: 17.00.04 – изобразительное и декоративно-прикладное искусство и архитектура Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата искусствоведения Санкт-Петербург 2015 Работа выполнена на кафедре истории западноевропейского искусства Института истории Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего...»





 
© 2015 www.z-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.