авторефераты диссертаций www.z-pdf.ru
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
 

На правах рукописи

Шарапудинов Тимур Идрисович

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

СПЕЦИАЛЬНЫМИ РЯДАМИ ПО ПОЛИНОМАМ

ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА СЕТКАХ,

И ПО ПОЛИНОМАМ ЯКОБИ

01.01.01 — «Вещественный, комплексный и функциональный

анализ»

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2015

Кряквин В.Д.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.29

Работа выполнена в

ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный университет», г. Махачкала

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович

Официальные оппоненты: Лукашов Алексей Леонидович

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры теории функций и

приближений

ФГБУ ВПО «Саратовский государственный

университ им. Н.Г. Чернышевского»

и

Гиль Алексей Викторович

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры дифференциальных и

интегральных уравнений

ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»

Ведущая организация:

ФГБУН «Институт прикладной

математики им. М.В. Келдыша РАН».

Защита состоится 9 февраля 2016 г. в 1600 часов на заседании диссертацион-

ного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций

при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону,

ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке им.

Ю.А. Жданова при ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (344103,

г. Ростов-на-Дону, ул. Р. Зорге, 21-ж) и в сети интернет по адресу

.

Автореферат разослан

«

»

года.

h

t

t

p

:

/

/

h

u

b

.

s

f

e

d

u

.

r

u

/

d

i

s

s

/

a

n

n

o

u

n

c

e

m

e

n

t

/

3

9

0

0

a

1

9

8

-

4

2

b

e

-

4

c

c

a

-

8

7

8

0

-

a

e

b

9

3

5

3

c

0

a

9

6

/

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств некото-

рых специальных рядов, ассоциированных с классическими полиномами Чебы-

шева, ортогональными на равномерной сетке, и полиномами Якоби и Чебыше-

ва первого рода. Эти ряды были введены в работах И.И. Шарапудинова как

альтернативный рядам Фурье по классическим ортогональным полиномам ап-

парат одновременного приближения кусочно-гладких и кусочно-аналитических

функций. Такая проблема достаточно часто встречаются при решении тео-

ретических и прикладных задач, в которых требуется одновременно прибли-

жать функцию f(x) и несколько ее производных f′(x), f′′(x),... f(r)(x) по-

средством выбранной приближающей функции g(x) и соответствующих про-

изводных g′(x), g′′(x),... g(r)(x). Задачи об одновременном приближении функ-

ций и их производных непосредственно возникают, например, всякий раз, ко-

гда требуется решить дифференциальное уравнение приближенными численно-

аналитическими методами. В связи с этой проблемой в ряде работ И.И. Ша-

рапудинова были введены и исследованы так называемые смешанные ряды,

ассоциированные с классическими ортогональными полиномами, в том чис-

ле и с полиномами Якоби Pn (x) =

κ(x)(1 - x2)n(x)

, где κ(x) =

(1 - x)α(1 + x)β. Как неоднократно отмечалось в указанных работах, смешан-

ные ряды по полиномам Якоби появились как естественный и альтернативный

рядам Фурье-Якоби аппарат одновременного приближения дифференцируемых

функций и их производных. Дело в том, что нормы продифференцированных

частичных сумм ряда Фурье-Якоби

(ν)

n

α,β

α,β

n

α,β

α,β

(n)

(-1)n

2nn!κ(x)

α,β

(ν)

(ν)

α,β

Sn (f, x)

=

fk Pk (x)

=

fk

Pk (x)

,

k=0

k=0

рассматриваемых как линейные функционалы, действующие в пространстве

C[-1, 1], сильно растут вместе с n, когда переменная x находится вблизи то-

чек -1 и 1. Это вызвано тем фактом, что полиному Якоби Pn (x) присуще

следующее дифференциальное свойство

Pn (x) =

Pn-ν

(x),

где (a)k = a(a + 1) · · · (a + r - 1). И поскольку Pn-ν

(1) =

, то

α,β

α,β

(n+α+β+1)ν

α+ν,β+ν

α,β

dxν

2r

α+ν,β+ν

n+α

n-ν

Pn (1) ≍ n2ν+α (n → ∞) . Вследствие этого существенно замедляется

dxν

скорость сходимости продифференцированных частичных сумм Фурье-Якоби

Sn (f, x)

к соответствующей производной f(ν)(x), если такая сходимость

3

(ν)

α,β

возможна в принципе. В самом деле, известно, что

n-r

(Sn (f, x))(r) = Sn-r

(f(r), x) =

fr,k

Pk

(x),

k=0

где Sn-r

(f(r), x) – частичная сумма порядка n-r ряда Фурье функции f(r)(x)

по полиномам Якоби Pk

(x) (k = 0, 1,...). С другой стороны, как хорошо

известно, уже при s + r -1/2 приближение функции g ∈ C[-1, 1], достав-

ляемое операторами Sm

= Sm

(g), вообще говоря в ms+r+1/2 раз ху-

же по порядку (при m → ∞), чем наилучшее приближение Em(g) функции

g ∈ C[-1, 1] алгебраическими полиномами степени m . Следует особо отме-

тить, что этот существенный недостаток присущ, в частности, суммам Фурье-

Якоби Sn (f, x) с произвольным α -1, включая суммы Фурье-Чебышева

Sn

(f, x) по полиномам Чебышева первого рода Tk(x) (k = 0, 1,...).

Для решения задачи одновременного приближения дифференцируемой

функции и ее производных, в работах И.И. Шарапудинова возникают смешан-

ные ряды, ассоциированные с полиномами Якоби.

Отметим еще одну задачу, которая часто возникает в приложениях (обработ-

ка временных рядов, изображений и так далее), для решения которой успеш-

но могут быть применены частичные суммы смешанных рядов по полиномам

Якоби (проведенные автором настоящей диссертации компьютерные экспери-

менты это подтверждают). Эта задача связана с приближением кусочно-гладких

функций. Предположим, например, что функция f(x), заданная на некотором

отрезке [a, b], является кусочно-аналитической, т.е. существуют такие точки

a = a0 a1 · · · ak ak+1 = b, для которых f(x) является аналити-

ческой на каждом из отрезков [aj, aj+1] (j = 0,... k). Такую функцию нельзя

эффективно приближать на всем отрезке [a, b] алгебраическими или тригономет-

рическими полиномами. Нетрудно понять, что для решения этой задачи нужно

сконструировать полиномиальные сплайны достаточно высокого порядка с узла-

ми в заданных точках a0, a1, · · ·, ak, ak+1, которые сохраняют гладкость функции

f(x) на всем отрезке [a, b]. Можно показать, что удобным инструментом реше-

ния этой задачи являются частичные суммы смешанного ряда по полиномам

Якоби.

Следует отметить, что уже сама конструкция смешанного ряда по классиче-

ским ортогональным полиномам, которая естественным способом возникает в

результате r-кратного интегрирования ряда Фурье r- той производной функции

f по рассматриваемой системе ортогональных полиномов, базируется на исполь-

зовании как всех хорошо известных дифференциально-разностных свойств этих

полиномов, так и свойств, вытекающих из их ортогональности. Это, в конечном

4

α+r,β+r

α+r,β+r

α+r,β+r

α,β

α+r,β+r

α+r,β+r

α+r,β+r

α+r,β+r

α,α

-1/2,-1/2

r-1

счете, и делает смешанные ряды удобным аппаратом одновременного прибли-

жения дифференцируемых функций и их производных. Для сравнения заметим,

что ряд Фурье по тем же полиномам для самой дифференцируемой функции

f базируется лишь на свойстве их ортогональности, поэтому слабо учитывает

дифференциальные свойства f, в то время, как смешанный ряд в своей кон-

струкции учитывает их в полной мере и, как следствие, производные частичной

суммы смешанного ряда функции f, ассоциированного с рассматриваемой си-

стемой ортогональных полиномов, значительно лучше, чем производные суммы

Фурье функции f по той системе ортогональных полиномов, приближают про-

изводные этой функции.

Отметим еще, что в последнее время в работах многих авторов интенсивное

развитие получила теория полиномов, ортогональных по Соболеву (соболев-

ские ортогональные полиномы). Такие полиномы ортогональны относительно

скалярных произведений соболевского типа, характеризующихся тем, что они

включают в себя слагаемые, которые отвечают за поведение соответствующих

ортогональных полиномов на концах области ортогональности. Часто рассмат-

риваются, например, скалярное произведение вида

b

f, g =

f(ν)(a)g(ν)(a) +

f(r)(t)g(r)(t)ρ(t)dt.

a

ν=0

Например, в некоторых случаях оказывается так, что полиномы, ортогональ-

ные по Соболеву на отрезке [a, b], могут иметь нули на одном или на обоих

концах этого отрезка. Это обстоятельство имеет важное значение для некото-

рых приложений, в которых требуется, чтобы значения частичных сумм ряда

Фурье функции f(x) по рассматриваемой системе ортогональных полиномов

совпали в концах отрезка [a, b] со значениями f(a) и f(b). Заметим, что обыч-

ные, ортогональные с положительным на [a, b] весом, полиномы этим важным

свойством не обладают. Известно,например, что для целого r ≥ 1 классические

полиномы Якоби Pn

(x) обладают свойством ортогональности относитель-

но приведенного выше скалярного произведения, если положить a = -1, b = 1,

ρ(t) = (1 - t)α, где α -1. Кроме того, полином Pn

(x) r-кратно обра-

щается в нуль в точке x = -1. При этом отметим, что ряды Фурье по поли-

номам Якоби Pn

(x), ортогональным по Соболеву, являются частным слу-

чаем смешанных рядов по общим полиномам Якоби Pn (x), соответствующим

выбору -1 α – нецелое и β = 0. Тот факт, что ряды Фурье по полино-

мам Якоби Pn

(x), ортогональным по Соболеву, являются частным случаем

смешанных рядов по общим полиномам Якоби Pn (x), позволяет применить

к исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по полиномам Якоби-

Соболева методы и подходы, разработанные ранее в работах И.И. Шарапудино-

5

α-r,-r

α-r,-r

α-r,-r

α,β

α-r,-r

α,β

ва, а также в работе [1], для решения аналогичной задачи для смешанных рядов

по общим классическим ортогональным полиномам Якоби (непрерывный слу-

чай). При этом следует отметить, что в работах И.И. Шарапудинова (2003-2005)

основное внимание уделялось исследованию аппроксимативных свойств частич-

ных сумм смешанных рядов по ультрасферическим полиномам Якоби Pn (x)

и изучению условий сходимости этих рядов, тогда как задача об условиях схо-

димости смешанных рядов по общим полиномам Якоби Pn (x), у которых па-

раметры α и β независимо друг от друга могут принимать разные значения,

оставалась мало исследованной. Впервые эта задача была исследована автором

настоящей диссертации в совместной работе [1]. В этой статье автору принад-

лежат все результаты, полученные в §4 — §8. Они составляют содержание главы

3 настоящей диссертации. Результаты, полученные в §3 статьи [1], принадлежат

И.И. Шарапудинову.

Проблемы, совершенно аналогичные тем, которые возникают при решении

задачи одновременного приближения функций и их производных посредством

частичных сумм рядов Фурье по полиномам Якоби, возникают и при решении

задачи об одновременном приближении дискретной функции и ее конечных раз-

ностей, с той лишь разницей, что вместо полиномов Якоби рассматриваются

их дискретные аналоги - классические полиномы Чебышева, ортогональные на

равномерной сетке. В диссертации рассмотрены (глава 2) специальные (смешан-

ные) ряды по этим полиномам как дискретный аналог специальных (смешан-

ных) рядов по полиномам Якоби. Кроме того, в диссертации рассмотрены од-

номерные и двумерные специальные (предельные) ряды (глава 1) по полиномам

Чебышева, ортогональным на равномерной сетке. Как показано в диссертации, в

одномерном случае предельные ряды по полиномам Чебышева, ортогональным

на равномерной сетке, оказываются частным случаем смешанных рядов по этим

же полиномам, рассмотренных во второй главе.

Цель работы

Основной целью настоящей диссертации является исследование аппрокси-

мативных свойств частичных сумм конечных предельных рядов по полиномам

Чебышева, ортогональным на равномерной сетке и смешанных рядов по этим

полиномам. Кроме того, исследованы аппроксимативные свойства смешанных

рядов по общим полиномам Якоби.

6

α,α

α,β

Методы исследований

При исследовании задач, поставленных в диссертации применялись как тра-

диционные подходы теории ортогональных полиномов, так и новые, которые

связаны с особенностями предельных рядов по полиномам Чебышева, ортого-

нальным на равномерной сетке и смешанных рядов по этим полиномам и по-

линомам Якоби. В частности были использованы такие традиционные методы,

как рекуррентные соотношения, формула Кристоффеля-Дарбу, оценка функции

Лебега сумм Фурье; при этом применялись асимптотические свойства и весовые

оценки ортогональных полиномов. В случае специальных рядов, вместо функ-

ции Лебега сумм Фурье по этим полиномам возникают некоторые новые величи-

ны, существенно отличающиеся от выражений для функций Лебега как по своей

структуре, так и по поведению, зависящему от порядка рассматриваемой частич-

ной суммы. Это обстоятельство потребовало разработки новых методов иссле-

дования поведения этих величин. Следует при этом отметить, что при исследо-

вании аппроксимативных свойств предельных (конечных) рядов по полиномам

Чебышева, ортогональным на равномерных сетках существенно использовались

асимптотические свойства и весовые оценки этих полиномов, установленные

впервые в работах И.И. Шарапудинова.

Научная новизна

Все представленные в работе результаты являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построены одномерные и двумерные предельные ряды по полиномам Че-

бышева, ортогональным на равномерной сетке, и исследованы их аппрок-

симативные свойства.

2. Получены оценки функции Лебега для частичных сумм одномерных и дву-

мерных предельных рядов по полиномам Чебышева, ортогональным на

равномерной сетке.

3. Исследованы аппроксимативные свойства частичных сумм смешанных ря-

дов по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке.

4. Получена оценка функции Лебега для частичных сумм смешанных рядов

по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке.

7

5. Получены условия равномерной сходимости смешанных рядов по общим

полиномам Якоби для функций из весовых классов Соболева.

6. Сконструированы операторы Yn+2r,N(f) путем дискретизации операторов

Yn+2r

(f) и исследованы их аппроксимативные свойства на классах

аналитических функций.

7. Построен алгоритм для численной реализации дискретизованных опера-

торов Yn+2r,N(f) путем применения быстрого преобразования Фурье.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут при-

меняться при обработке и сжатии дискретно заданной информации: сигналов,

временных рядов и т.д.

Степень достоверности.

Основные результаты вместе со строгими математическими доказательства-

ми опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах. Полученные

результаты не противоречат результатам других авторов по данной тематике.

Апробация работы

Международная научно-техническая конференция «Многопроцессорные

вычислительные и управляющие системы», Дивноморское, 2007;

8th International Conference «Pattern Recognition and Image Analysis: New

Information Technologies (PRIA-8-2007)», Йошкар-Ола, 2007;

14-я Саратовская зимняя математическая школа «Современные пробле-

мы теории функций и их приложения», посвященная памяти академика

П.Л. Ульянова (1928–2006), Саратов, 2008;

9th international conference on «Pattern recognition and image analysis: new

information technologies» (PRIA9-2008), Нижний Новгород, 2008;

III научная конференция «Современные проблемы прикладной математики

и математического моделирования», Воронеж, 2009;

Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории

функций и смежные проблемы», Воронеж, 2009;

8

-1/2,-1/2

Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования:

международная научная конференция, Владикавказ, 2010;

16-я Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы

теории функций и их приложения», Саратов, 2012;

VIII региональной школы-конференции молодых ученых «Владикавказ-

ская молодежная математическая школа», Владикавказ, 2012;

Воронежская зимня математическая школа «Современные методы теории

функций и смежные проблемы», Воронеж, 2013;

Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования:

международная научная конференция, Владикавказ, 2013;

Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования:

международная научная конференция, Владикавказ, 2015.

Также результаты работы докладывались на семинаре Отдела математики и ин-

форматики Дагестанского научного центра РАН.

Публикации и личный вклад

Содержание диссертации и ее основные результаты достаточно полно от-

ражены в работах автора [1–11], 4 из которых изданы в журналах, рекомендо-

ванных ВАК [1–4], 7 — в тезисах и материалах конференций [5–11]. Наиболее

значимыми работами являются статьи [1–3]. Статья [1] написана в соавторстве с

И.И. Шарапудиновым. В этой статье автору принадлежат все результаты, полу-

ченные в §4 — §8. Результаты, полученные в §3 этой статьи, принадлежат И.И.

Шарапудинову. Доказательство всех результатов, выносимых на защиту, выпол-

нено автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав (включающих в совокупности

21 параграф) и заключения. Полный объем диссертации составляет 119 страниц.

Список литературы содержит содержит 32 наименования.

9

Γ(N)2α+β+1

Γ(x + β + 1)Γ(N - x + α)

Γ(N + α + β + 1)

Γ(x + 1)Γ(N - x)

µ(x) = µ(x; α, β, N) =

т.е.

N-1

Содержание работы

Содержание первой главы

В задачах, связанных с обработкой временных рядов и изображений, воз-

никает необходимость разбить заданный ряд данных на части, аппроксимиро-

вать каждую часть и заменить приближенно исходный временной ряд (изобра-

жение) функцией, полученной в результате «пристыковки» функций, аппрокси-

мирующих отдельные части. Но тогда в местах стыка, как правило, возника-

ют нежелательные скачки (разрывы), которые искажают общий вид временного

ряда (изображения). Такая картина непременно возникает, если для приближе-

ния «кусков» исходной функции использовать суммы Фурье по классическим

ортонормированным системам. Не является исключением и случай приближе-

ния суммами Фурье по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерных

сетках. Остановимся на этом случае более подробно. Через τn (x, N) мы обо-

значим (Шарапудинов И.И, 2004) классические полиномы Чебышева, которые

при α, β -1 образуют ортонормированную систему на равномерной сетке

ΩN = {0, 1,..., N - 1} с весом

x=0

Для произвольной дискретной функции f : ΩN → R мы можем определить

коэффициенты Фурье-Чебышева

N-1

(3)

(4)

(5)

и сумму Фурье-Чебышева

n

Sn,N(f, x) =

fk τk (x, N),

k=0

0 ≤ n ≤ N - 1

α,β

,

(1)

(2)

α,β

α,β

µ(x)τn (x, N)τm (x, N) = δnm.

α,β

fk

=

µ(j)τk (j, N)f(j),

j=0

ряд Фурье-Чебышева

N-1

f(x) =

fk τk (x, N)

k=0

α,β

α,β α,β

α,β

α,β α,β

Указанные выше разрывы в точках «стыка» возникают из-за того, что при при-

ближении функции f(x)("кусок"временного ряда) суммой Фурье Sn,N(f, x) зна-

10

α,β

2x

N -

- 1

1

+

2

8x(N - x - 1)

N(N - 1)

где τk (u, N - 2) = τk (u, N - 2),

2t

N -

- 1

1

(7)

,

(8)

(9)

+

2

N-2

τk (j - 1, N - 2)g(j)

j=1

2x

N -

- 1

1

2

8x(N - x - 1)

N(N - 1)

-1

α,β

где Sn,N(f, x) = limα,β→-1 Sn,N(x). Но, что собой представляет Sn,N(f, x) и

нельзя ли использовать Sn,N(f, x) в качестве альтернативного суммам Фурье

Sn,N(f, x) аппарата приближения дискретных функций f(x)?

Один из основных результатов, установленных в главе 1 состоит в доказа-

тельстве того, что предельное положение конечного ряда (4) имеет следующий

вид

-1

α,β

+

2

f(0) + f(N - 1)

f(N - 1) - f(0)

f(x) =

N-3

gkτk (x - 1, N - 2),

k=0

1

^

1,1

1

-

2

1

f(0) + f(N - 1)

f(N - 1) - f(0)

g(t) = f(t) -

и, как следствие,

α,β

чение Sn,N(f, x) в точках x = 0 и x = N - 1 не совпадают со значениями исход-

ной функции f(x) в этих точках. С другой стороны, проанализировав асимпто-

тические свойства полиномов τk (x, N) вблизи концов 0 и N - 1 (см. моногра-

α,β

α,β

фию И.И. Шарапудинова, 1997 ) можно заметить, что суммы Фурье Sn,N(f, x) по

этим полиномам имеют тенденцию стремиться к f(x) точках x = 0 и x = N - 1

при α, β → -1, т.е.

Sn,N(f, x) = f(x),

x ∈ {0, N - 1},

(6)

-1

-1

1

gk =

^

N - 2

+

n-2

k=0

2

f(0) + f(N - 1)

f(N - 1) - f(0)

-1

Sn,N(f, x) =

1

gkτk (x - 1, N - 2).

(10)

^

-1

-1

В главе 1 доказано, Sn,N(f) = Sn,N(f, x) является проектором на подпро-

странство алгебраических полиномов степени n и получена следующее нера-

венство типа Лебега

|f(x) - Sn,N(f, x)| ≤ En (f) (1 + Ln,N(x)) ,

(11)

11

-1

N*

(12)

(13)

n

N - 1

Λn,N(x) ≤ c(a) ln 2 +

x(N - x) ,

где 0 ≤ n ≤ a N,

N = 2, 3,... ; x ∈ ωN, c(a) – постоянная, зависящая лишь

от параметра a. Это еще один основной результат главы 1. При его получении

существенно используются асимптотические свойства и весовые оценки, полу-

ченные для полиномов Чебышева Tn (x, N) в работах И.И. Шарапудинова

Отметим, что конструкция сумм Sn,N(f, x) столь же проста, как конструк-

ция рядов Фурье по ортогональным полиномам. Но она является более удобной

с точки зрения численной реализации Sn,N(f, x), так как в выражении для коэф-

фициентов gk, определяющих Sn,N(f, x) , не фигурирует весовая функция типа

-1

N*

En (f) = inf max |f(x) - Pn(x)|.

Pn∈Hn x∈ΩN

Для функции Лебега Λn,N(x) частичных сумм Sn,N(f, x) получена оценка

α,β

-1

-1

-1

^

Γ(x+α+1)Γ(N-x+α)

Γ(x+1)Γ(N-x)

, которая в случае α 0 привела бы к существенным вычисли-

тельным сложностям. Это обстоятельство вместе с (6), (11) и (13) делает суммы

Sn,N(f, x) весьма привлекательным инструментом для решения задач, связанных

с аппроксимацией дискретных функций. В частности, Sn,N(f, x) могут найти

применение в задачах обработки и сжатия временных рядов и изображений.

В главе 1 вводятся также двумерные предельные ряды по полиномам Чебы-

шева, ортогональным на двумерной равномерной сетке. Такая задача возникает

при решении вопросов, связанных с обработкой и сжатием изображений. Идея

получения двумерного предельного ряда по полиномам Чебышева, ортогональ-

ным на равномерной сетке аналогична той, которая применялась при конструи-

ровании предельных рядов одной переменной. А именно, пусть Ω2 = ΩN × ΩN;

рассмотрим дискретную функцию f вида f : Ω2R и представим ее в виде

ряда Фурье

N-1 N-1

f(x, y) =

fk,l τk (x)τlβ(y),

(14)

k=0 l=0

где α, β -1,

N-1 N-1

fk,l =

µα(i)µβ(j)f(i, j)τk (i)τlβ(j),

(15)

k=0 j=0

где µα(x) = µ(x, α, α, N), τk (x) = τk (x, N).

12

-1

-1

N*

En (f) наилучшее приближение функций f алгебраическими полиномами Pn,

которые в точках x ∈ {0, N - 1} совпадают с f(x), т.е.

N

N

α,β α

α,β

α

α,α

α

2

(N + r)

dr,k =

В главе 1 найден двумерный аналог предельного ряда (7), который выво-

дится из (14) путем перехода к пределу при α, β → -1. Исследованы аппрокси-

мативные свойства частичных сумм двумерного предельного рада. Установлен

двумерный аналог неравенства Лебега вида (11) и оценки (13).

Содержание второй главы

Во второй главе рассмотрены аппроксимативные свойства смешанных ря-

дов по полиномам Чебышева Tn (x, N). Смешанные ряды представляют со-

бой обобщение предельных рядов по полиномам Tn (x, N), рассматриваемых

в первой главе. Пусть r, N – натуральные числа,

ΩN+2r = {-r, -r + 1,..., -1, 0, 1,..., N - 1, N,..., N - 1 + r}.

Рассмотрим дискретную функцию d(x), заданную на сетке ΩN+2r. Положим

F (x) = d(x-r), x ∈ ΩN+2r = {0, 1,..., N -1+2r}, b(x) = b(x, r, N) = ΔrF (x),

d(N - 1 + i)

N - 1 + i - x

– интерполяционный полином степени 2r - 1, интерполирующий функцию d(x)

в точках x = -r, -r + 1,..., -1 и x = N, N + 1,..., N - 1 + r,

(-1)r(x + r)[r](N - 1 + r - x)[r] N-1+r dr,k

r,r

(N - 1 + r)[r]

k[r]

k=r

a[r] = a(a - 1) ... (a - r + 1), (a)k = a(a + 1) ... (a + r + 1).

Рассмотрим его частичные суммы следующего вида.

Yn+2r,N(d, x) = D2r-1,N(x) +

Tk-r(x, N). (18)

(N - 1 + r)[r]

k[r]

k=r

13

α,β

α,β

N+r-1

j=0

0,0

Tk (j, N + r)

b(j)

.

(16)

k,N+r

h0,0

0,0

Смешанный ряд, ассоциированный с полиномами Чебышева τn (x, N), имеет

вид

d(x) = D2r-1,N(x) + Ir,N(d, x),

x ∈ ΩN+2r,

(17)

где

D2r-1,N(x) = D2r-1,N(d, x) =

+

r

(-1)i-1

i=1

(x + 1)r(N - x)r

d(-i)

(i - 1)!(r - i)!(N + i)r

x + i

Ir,N(x) =

Tk-r(x, N),

(-1)r(x + 1)r(N - x)r

n+r dr,k

r,r

N-1+r

k=n+r+1

(-1)r-ν(t + 1 + ν)r-ν(N - t)r-ν

(N - 1 + r)[r-ν]

Чтобы сформулировать следующий результат, полученный в главе 2, введем

некоторые обозначения. Пусть 0 ≤ ν ≤ r,(t) = Δνd(t - ν). Обозначим че-

рез pn+2r-ν() = pn+2r-ν()(t) алгебраический полином степени n + 2r - ν,

который совпадает с функцией(t) в точках множества A = {-r + ν, -r + ν +

1,..., -1, N +ν, N +ν +1,..., N +r-1} и среди таких полиномов осуществля-

¯

состоящем из дискретных функций b(t), для которых норма определяется равен-

ством ‖b‖ = maxt∈Ω

|b(t)|. Положим En+2r-ν() = ‖∂ - pn+2r-ν(). В

главе установлена следующая

Теорема 2.4.2. Пусть 0 ≤ ν ≤ r, -r + ν ≤ t ≤ N - 1 + r (t – целое). Тогда

имеет место неравенство

|Δνd(t - ν) - ΔνYn+2r,N(d, t - ν)| ≤ En+2r-ν()(1 + λn,N,r,ν(t)).

(19)

Наряду с операторами Yn+2r,N(d) = Yn+2r,N(d, t), в главе 2 рассмотре-

ны некоторые их модификации, действующие в пространстве функций, задан-

ных на отрезке [-1, 1]. Пусть функция f = f(x) определена в узлах сет-

Λ-1

ки HΛ =

xj = -1 +

, где Λ = N + 2r. С помощью равенства

j=0

d(j - r) = f(xj)(j = 0, 1,..., N + 2r - 1) мы можем на сетке ΩΛ =

{-r, -r +1,..., -1, 0, 1, N -1, N,..., N -1+r} определить дискретную функ-

цию d = d(t) и для нее построить оператор Yn+2r,N(d) = Yn+2r,N(d, t). Тогда

Один из главных результатов, полученных во второй главе диссертации заклю-

чается в следующей теореме

Теорема 2.4.1. Пусть r ≥ 1, 0 ≤ ν ≤ r, -r ≤ t ≤ N - 1 + r - ν (t-целое).

Тогда имеет место равенство

Δνd(t) - ΔνYn+2r,N(d, t) =

Xn+2r,N(f, x) = Yn+2r,N

d,

(20)

(21)

представляет собой алгебраический полином степени n + 2r, для которого

Xn+2r,N(f, xj) = f(xj),

0 ≤ j ≤ r - 1,

N + r ≤ j ≤ N - 1 + 2r.

В частности, если Pm(x) представляет собой алгебраический полином степе-

ни m ≤ n + 2r, то из свойств Yn+2r,N(f, x) следует, что Xn+2r(f, x) = Pm(x)

Λ-1

dr,k

r-ν,r-ν

Tk+ν-r (t + ν, N + ν).

k[r-ν]

ет наилучшее приближение к(t) в нормированном пространстве CN+2(r-ν)),

¯N+2(r-ν)

2j

Λ-1

Λ - 1

2

(1 + x) - r

тождественно. Полагая t =

(1 + x) - r мы можем записать

Xn+2r,N(f, x) = D2r-1,N(d, t)+

14

2

.

Через C[-1, 1] обозначим, как обычно, пространство непрерывных функций,

определенных на [-1, 1] . Мы можем рассмотреть Xn+2r,N(f) как линейный опе-

ратор, действующий в C[-1, 1] : f → Xn+2r,N(f). В главе 2 изучаются аппрок-

симативные свойства этих операторов, другими словами, исследуется поведение

разности |f(x) - Xn+2r,N(f, x)| при определенных условиях на гладкость функ-

ции f(x). При решении этой задачи вводятся величины

,

+ 1/m)r

,

( 1 - x2 + 1/m)r

где нижняя грань рассматривается по всем алгебраическим полиномам Pm(x)

степени m. В главе 2 доказано, что

1/2

×

1/2

×

1

n + 2r

1

1 - x2 +

n+2r

1

n + 2r

Λ-1

2

1 - x2

1

n + 2r

r

D2r-1,N(d, t) =

(-1)i-1

i=1

(t + 1)r(N - t)r

(i - 1)!(r - i)!(N + i)!r

t + i

N - 1 + i - t

f(xr-i)

f(xN-1+r+i)

+

|f(x) - Pm(x)|

( 1 - x2

r

Em(f, N) = inf max

Pm x∈HΛ

|f(x) - Pm(x)|

r

Em(f, N) = inf max

Pm

x∈[-1,1]

|f(x) - Xn+2r,N(f, x)|

r-1/2

r

≤ En+2r(f, N)

1 - x2 +

1

1 - x2 +

n+2r

(-1)r(t + 1)r(N - t)r

n+r fr,k

r,r

(N - 1 + r)[r]

k[r]

k=r

где fr,k = dr,k,

Tk-r(t, N),

(x ∈ HΛ),

r

(N + 2r)[2r]

1 +

|f(x) - Xn+2r,N(f, x)|

r-1/2

r

≤ En+2r(f, N)

1 - x2 +

1

1 - x2 +

n+2r

In,N(x)(t + 1)r(N - t)r|22r

r

(x ∈ [-1, 1]),

|Kn,N(j, t)|,

r

1

+

(N + 2r)[2r]

n+2r

1 +

где t =

(1 + x) - r, Λ = N + 2,

N-1

1 - x2+r +

j=0

15

2

N

r

In,N(x) =

r,r

j

r

In,N(x)(t + 1)r(N - t)r22r

В связи с указанными оценками возникает задача об изучении поведения вели-

чины In,N(x) при n, N → ∞. Следующая теорема является одним из основных

r

( 1 - x2 + )-1/2 + ln(n 1 - x2 + 1) .

Содержание третьей главы

Третья глава диссертации посвящена исследованию условий сходимости

смешанных рядов по общим полиномам Якоби Pn (x) и аппроксимативных

свойств дискретизованных частичных сумм смешанного ряда по полиномам

Чебышева первого рода. Чтобы сформулировать основные результаты, полу-

ченные в главе 3, нам понадобится определение смешанных рядов по об-

щим полиномам Якоби, введенное в работах И.И. Шарапудинова Полино-

α,β

α,β

f(x) = Dr-1(f, x) + 2r

k=0

16

r

результатов, полученных во второй главе.

Теорема 2.5.2. Пусть r ≥ 1, a 0, 1 ≤ n ≤ a N, -1 ≤ x ≤ 1. Тогда имеет

место оценка

1

n

n

Kn,N(x, y) =

k=0

r,r

r,r

Tk (x, N)Tk (y, N)

hr,r

.

k,N

1

n

r

In,N(x) ≤ c(r, a)

1 - x2 +

α,β

r,r

мы Якоби Pn (x) мы определим с помощью формулы Родрига Pn (x) =

(n)

(-1)n

2nn!ρ(x)

ρ(x)(1 - x2)n(x)

, где ρ(x) = (1 - x)α(1 + x)β; α, β – произволь-

ные вещественные числа. В частности, когда α = β = -1, полиномы Яко-

би Pn (x) с точностью до постоянного множителя превращаются в поли-

номы Чебышева Tn(x). При α, β -1 полиномы Якоби образуют ортого-

нальную систему на (-1, 1) с весом ρ(x) = (1 - x)α(1 + x)β, а именно:

2

α,β

1

α,β

Γ(n+α+1)Γ(n+β+1)2α+β+1

α,β

ρ(x)Pn (x)Pk (x)dx = hα,βδnk, где hα,β =

. Мы здесь

n

n

n!Γ(n+α+β+1)(2n+α+β+1)

-1

/

рассмотрим случай, когда параметры α, β удовлетворяют условию -1 α, β

1. Пусть целое r ≥ 1, α + β ∈ {-1, 0, 1}, функция f = f(x) непрерывно-

дифференцируема r - 1 раз на [-1, 1], f(r-1)(x) абсолютно непрерывна и

1

(1 - x)α(1 + x)βf(r)(x) dx ∞. Тогда мы можем определить коэффици-

-1

1

α,β

α,β

1

енты fr,k =

(1 - t)α(1 + t)βf(r)(t)Pk (t) dt и смешанный ряд вида

hα,β

k

-1

α,β

fr,k

Pk+r

(x),

(22)

(k + λ)[r]

α-r,β-r

α,β

(1 + x)ν, Aν =

k=0

2rAν,k

(k + λ)[r]

где

α,β

,

,

2

2

α,β

fr,k,

(ν)

Aν,k = Pk+r

(t)

=

(-1)k+r-νΓ(k +

α-r,β-r

t=-1

Γ(ν - r + β

r-1

ν=0

f(ν)(-1) - Aν

ν!

Dr-1(f, x) =

β + 1)(k + λ - r + 1)ν

.

+ 1)(k + r - ν)!2ν

r

Сформулируем основной результат, полученный в главе 3. Через WLp(-1, 1)

ρ

обозначим пространство Соболева, состоящее из r раз дифференцируемых

функций на [-1, 1], для которых f(r-1) абсолютно непрерывна на [-1, 1], а

1

-1

|f(r)|pρ(x)dx ∞, где ρ(x) = (1 - x)a(1 + x)b.

Теорема 3.4.1 Пусть -1 α, β ≤, a, b ∈ R, p 1 таковы, что

1

2

a + 1

α + 1

min

b + 1

β + 1

min

-

p

1 α + 1

4

2

,

1 β + 1

4

2

,

r

ρ(x) = (1 - x)a(1 + x)b. Тогда, если r ≥ 1, f ∈ WLp(-1, 1), то смешанный ряд

ρ

(22) существует и равномерно на [-1, 1] сходится к f(x).

Особое внимание в главе 3 уделено вопросу численной реализации опера-

торов Yn+2r(f) = Yn+2r(f, x), которые представляют собой частичные сум-

мы смешанного ряда по полиномам Чебышева первого рода. Сконструирова-

ны операторы Yn+2r (f) = Yn+2r (f, x) путем дискретизации Yn+2r(f) =

Yn+2r(f, x). Исследованы аппроксимативные свойства дискретизованных опе-

раторов Yn+2r (f) = Yn+2r (f, x) на классах аналитических функций.

В заключении автор выражает признательность научному руководителю

А.-Р.К. Рамазанову, а также И.И. Шарапудинову и А.М. Магомедову за помощь

в написании работы.

17

-1/2

-1/2

-1/2,N

-1/2,N

-1/2

-1/2

-1/2,N

-1/2,N

-

p

Публикации автора по теме диссертации

1. Шарапудинов И.И., Шарапудинов Т.И. Смешанные ряды по полиномам Яко-

би и Чебышева и их дискретизация // Матем. заметки. 2010. Т. 88, № 1.

С. 116–147.

2. Шарапудинов Т.И. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по поли-

номам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке // Вестник Даге-

станского научного центра РАН. 2007. № 29. С. 12–23.

3. Шарапудинов Т.И. Конечные предельные ряды по полиномам Чебышева,

ортогональным на равномерных сетках // Известия Саратовского универси-

тета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13,

№ 1-2. С. 104–108.

4. Шарапудинов Т.И. Применение смешанных рядов по полиномам Чебыше-

ва, ортогональным на равномерной сетке, для сжатия дискретно заданной

информации // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2010. Т. 38.

С. 21–24.

5. Шарапудинов Т.И. Приближение дискретных функций дискретными сплай-

нами Чебышева // Труды молодых ученых ДГУ, ИПЦ ДГУ. 2007. Т. 3.

С. 18–19.

6. Шарапудинов Т.И. Применение аппарата смешанных рядов в задачах обра-

ботки дискретно заданной информации // Порядковый анализ и смежные

вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной

научной конференции (Владикавказ, 19–24 июля 2010 г.). 2010. С. 149–150.

7. Шарапудинов Т.И. Предельные дискретные ряды по полиномам Чебышева,

ортогональным на равномерных сетках, и их аппроксимативные свойства //

Труды VIII региональной школы-конференции молодых ученых «Владикав-

казская молодежная математическая школа». 2012. С. 147–149.

8. Шарапудинов Т.И. Метод сжатия изображений с использованием дискрет-

ных полиномов Чебышева // Труды РНТОРЭС им. А.С. Попова. Серия: Циф-

ровая обработка сигналов и ее применение. Т. XI. 2009. С. 408–411.

18

9. Шарапудинов Т.И. Приближение дискретных функций смешанными рядами

по дискретным полиномам Лагерра (Мейкснера) // Тезисы докладов 14-й

Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их

приложения». 2008. С. 202–204.

10. Шарапудинов Т.И. Специальные ряды со склеивающимися на концах ча-

стичными суммами и их аппроксимативные свойства // Порядковый анализ

и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XII

международной научной конференции (Владикавказ, 12–18 июля 2015 г.).

2015. с. 116.

11. Шарапудинов Т.И. Предельные дискретные ряды Чебышева и их Аппрок-

симативные свойства // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы

«Современные проблемы теории функций и их приложения». 2012. с. 197.

19

Шарапудинов Тимур Идрисович

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНЫМИ РЯДАМИ ПО

ПОЛИНОМАМ ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА СЕТКАХ, И ПО

ПОЛИНОМАМ ЯКОБИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Подписано в печать 7 декабря 2015 года

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс».

Печать офсетная. Усл. п.л. 1,27. Тираж 130 экз. Заказ № 241.

«Типография «Наука-Дагестан»

367015 Махачкала, 5-й жилгородок, корпус 10



Похожие работы:

«ЦВЕТУС-САЛЬХОВА Татьяна Эдуардовна СЕМАНТИКО-СЕМИОТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ НЕВЕРБАЛЬНОГО ЯЗЫКА ТЕЛЕСНОСТИ В ТЕАТРАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЕ НАЧАЛА ХХ ВЕКА Специальность 24.00.01 – Теория и история культуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата культурологии Кемерово 2015 Работа выполнена политических дисциплин институт культуры Научный руководитель доктор философских наук, профессор ФГБОУ ВО Кемеровский государственный институт культуры Балабанов Павел...»

«ИВАНОВ ЭРНЕСТ СЕРГЕЕВИЧ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ КОМПРЕССОРНЫХ СТАНЦИЙ В УСЛОВИЯХ СНИЖЕННОЙ ЗАГРУЗКИ МАГИСТРАЛЬНЫХ ГАЗОПРОВОДОВ Специальность 25.00.19 – Строительство и эксплуатация нефтегазопроводов, баз и хранилищ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Уфа 2016 Научный руководитель Официальные оппоненты: Китаев Сергей Владимирович доктор технических наук, доцент Калинин Александр Федорович, доктор технических наук, профессор...»

«Перевалов Тимофей Викторович ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА ВАКАНСИЙ КИСЛОРОДА В ОКСИДАХ АЛЮМИНИЯ, ГАФНИЯ, ТАНТАЛА И ТИТАНА 01.04.07 – Физика конденсированного состояния АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск – 2015 Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте физики полупроводников им. А.В. Ржанова Сибирского отделения Российской академии наук Научный руководитель: Гриценко Владимир...»





 
© 2015 www.z-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.