авторефераты диссертаций www.z-pdf.ru
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТИХООКЕАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АЛЁШИН МАКСИМ СЕРГЕЕВИЧ

ОПИСАНИЕ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ В

КОНТЕКСТЕ КВАЗИШТУРМОВСКИХ

БАЗИСОВ

Специальность: 01.04.02 – Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Хабаровск – 2015

бюджетного

образовательного

учреждения

высшего

Тихоокеанского государственного университета (ТОГУ)

образования

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Зайцев Сергей Александрович

Официальные оппоненты:

Хохлов Николай Александрович – доктор физико-математических наук

по специальности 01.04.02, доцент, ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на­

Амуре

государственный

технический

университет»,

профессор

кафедры «Физика»

Молочков Александр Валентинович – доктор физико-математических

наук

по

специальности

01.04.02,

профессор,

ФГАОУ

ВПО

«Дальневосточный федеральный университет», профессор кафедры

теоретической и экспериментальной физики

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования «Национальный исследовательский Томский

государственный университет» (ТГУ)

Защита

состоится

26

февраля

2016

г.

в

1300

часов

на

заседании

диссертационного

совета

Д

212.056.08

на

базе

Дальневосточного

федерального университета, расположенного по адресу: 690922, г. Владивосток,

о. Русский, п. Аякс-10, кампус ДВФУ, корпус А(24), 11 уровень, зал заседаний

диссертационных советов. E-mail: dyachenko.oi@dvfu.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Дальневосточного

федерального

университета

по

адресу:

690090,

г.

Владивосток,

Работа выполнена на кафедре «Физика» Федерального государственного

ул. Алеутская, 65-б и на официальном сайте университета

http://www.dvfu.ru/science/dissertation-tips/the-thesis

Автореферат разослан «

»

2015 г.

Ученый секретарь

по адресу:

диссертационного совета

Д 212.056.08, к. ф.-м. н.

Дьяченко О. И.

3

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Задача рассеяния с участием трёх

заряженных частиц является одной из фундаментальных нерешённых проблем

теоретической физики атомов и молекул. В атомной физике актуальными c

точки зрения изучения корреляции электронов представляются реакции двой­

ной ионизации. Настоящая работа посвящена построению корректной волновой

функции двухэлектронного континуума, который возникает как конечное состо­

яние в реакциях (e, 3e) и (γ, 2e).

Существуют различные методы построения волновой функции состояния

непрерывного спектра системы трёх заряженных частиц, которые эффективно

работают при низких энергиях. Однако существенна проблема применимости

этих методов при высоких энергиях, когда открывается большое число каналов.

В таких случаях волновая функция системы трёх тел принадлежит непрерыв­

ному спектру, а граничные условия в конфигурационном пространстве имеют

очень сложный вид и соответствуют множеству двух- и трёхчастичных кана­

лов. Существенное усложнение картины асимптотического движения частиц

происходит из-за наличия в системе дальнодействующих сил.

Несмотря на то, что принципиальные вопросы описания систем двух и

трёх тел с кулоновским и сильным взаимодействием на основе уравнений Шре­

дингера и Фаддеева-Меркурьева разрешимы [7], очень сложной остаётся вычис­

лительная реализация расчета наблюдаемых рассеяния составных заряженных

частиц. Поэтому практическое применение существующих методов невозмож­

но без использования приближений, последствия которых, однако, очень труд­

но оценить. В связи с этим в настоящее время продолжаются активные поис­

ки новых независимых методов учёта кулоновского взаимодействия в системе

нескольких тел.

Стоит отметить, что аналитическое решение удаётся найти лишь в неко­

торых специальных случаях. Так, например, в результате исследований, проде­

ланных в работах [7, 8], получено решение для волновой функции трёхчастич­

ного кулоновского континуума (в области конфигурационного пространства,

где расстояние между частицами значительно превышает характерный размер

системы). В работе [9] рассмотрен предельный случай, при котором значение од­

ной координаты Якоби значительно превышает значение другой. Существуют

также альтернативные подходы. Так, например, авторы работы [10] применя­

ют к трёхчастичному гамильтониану так называемое унитарное кулоновское

Фурье-преобразование, что позволяет исключить из него кулоновское взаимо­

действие. В работе [11] по исследованию состояния низкоэнергетической фраг­

ментации атомной системы также производится аппроксимация решения урав­

нения Шредингера для трёхчастичного континуума. Кроме того, существуют

методы теоретического исследования рассеяния без использования волновых

функций непрерывного спектра.

4

Развитию методов описания процессов рассеяния с участием трёх заря­

женных частиц, основанных на прямом численном решении уравнения Шре­

дингера, во многом способствовало возрастание вычислительных возможностей

компьютерной техники. Среди таких подходов можно выделить: метод сильной

связи со сходимостью (convergent close coupling) (CCC) [12], метод внешнего ком­

плексного скейлинга (exterior complex scaling) (ECS) [13], метод J-матрицы [14],

метод R-матрицы, прямой метод конечных разностей (direct finite-difference

method) (FDM), метод сильной связи каналов с псевдосостояниями. Общей чер­

той для всех этих методов является использование поведения волновой функ­

ции в состоянии кулоновского континуума в качестве граничных условий зада­

чи. Существенны также значения энергий системы по отношению к пороговой

энергии трёхчастичного развала. При значениях ниже этого порога открыты

только бинарные каналы, и все вышеперечисленные методы обычно без трудно­

стей применяются в сочетании с некоторыми приближениями. Если же энергия

превышает значение порога развала, то решение должно удовлетворять гра­

ничным условиям в асимптотической области. Так, например, применение упо­

мянутых подходов к задаче ионизации водородоподобного атома электронным

ударом уже ограничено. Во всех этих подходах задаётся корректное поведение

волновой функции во “внутренней” области конфигурационного пространства.

Информация же об амплитуде ионизации извлекается из условия сшивки ре­

шения с граничными условиями в области трёхчастичного континуума. Эти

граничные условия задаются с использованием некоторого приближения, от­

личного для каждого из подходов. В методе сильной связи каналов со сходи­

мостью, например, они определяются путём дискретизации состояний мишени

в асимптотической области. Амплитуда перехода процесса ионизации получа­

ется перенормировкой псевдосостояний атома по соответствующим состояниям

истинного континуума [12]. Псевдосостояния здесь задаются квадратично ин­

тегрируемыми функциями. Однако состояния асимптотической области в этих

подходах определяются произведением двух кулоновских волн, которые соот­

ветствуют движению электронов в полях с фиксированными зарядами. Други­

ми словами, такая аппроксимация не учитывает межэлектронной корелляции.

По этой причине фаза амплитуды перехода реакции как функции радиуса сшив­

ки расходится. Авторы работы [15] предлагают так называемую теорию иониза­

ции атомов электронным ударом для того, чтобы обойти данные ограничения

и устранить неоднозначное определение фазы амплитуды рассеяния.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы состояла в

формулировке метода описания трёхчастичного кулоновского континуума в

процессе двукратной ионизации атома.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

построение базисов для описания непрерывного спектра кулоновской си­

стемы трёх тел;

разработка алгоритмов решения неоднородного уравнения Шрёдингера

5

кулоновской трёхтельной задачи с граничными условиями в виде расхо­

дящейся шестимерной сферической волны;

применение предложенного метода к решению задачи двукратной иониза­

ции атома гелия ударом высокоэнергетичного электрона.

Научная новизна.

Предложены квазиштурмовские функции в качестве базисных при описа­

нии состояний непрерывного спектра квантовых систем. Получено пред­

ставление функций в замкнутом аналитическом виде. Преимущества ме­

тода проиллюстрированы на примере двухчастичной задачи рассеяния.

Выполнено обобщение одночастичных квазиштурмовских функций на слу­

чай трёх заряженных частиц. Двухчастичные базисные функции получе­

ны по аналогии с функцией Грина для двух невзаимодействующих во­

дородоподобных атомных систем в виде интеграла-свёртки двух одноча­

стичных квазиштурмовских функций. Полученные таким образом двух­

частичные квазиштурмовские функции (в отличие от простого произве­

дения двух одночастичных) ведут себя асимптотически как шестимерная

расходящаяся сферическая волна.

Построенные двухчастичные квазиштурмовские функции применены к

описанию (e,3e) процесса на атоме гелия. При этом использовался подход,

эквивалентный первому борновскому приближению, основанный на неод­

нородном уравнении Шрёдингера. Решение этого уравнения получено в

виде разложения по базису двухчастичных квазиштурмовских функций.

Исследована сходимость разложения. Результаты для дифференциально­

го сечения согласуются с расчётами других авторов.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная рабо­

та является теоретическим и прикладным исследованием. Полученная в дис­

сертации в контексте базисов квазиштурмовских функций волновая функция

кулоновской системы трёх тел может быть использована, например, при теоре­

тическом описании процессов ионизации атомов электронным ударом ((e, 2e) и

(e, 3e) реакции) или двойной фотоионизации ((γ, 2e) реакция).

Результаты, представленные в диссертационной работе, могут найти при­

менение в теоретических исследованиях процессов ионизации ударом электро­

на, двукратной фотоионизации, которые проводятся в российских и зарубеж­

ных научных центрах, например, ТОГУ (г. Хабаровск), ОИЯИ (г. Дубна),

НИИЯФ МГУ (г. Москва), в Университете Лотарингии (Франция), в Южном

Национальном Университете (г. Буэнос-Айрес, Аргентина).

Методология и методы исследования. В работе используются методы

квантовой теории столкновений и теории спектрального разложения операто­

ров.

6

Положения, выносимые на защиту:

Введены новые квазиштурмовские (КШ) функции, получаемые как реше­

ние неоднородного уравнения Шредингера двухчастичной задачи рассея­

ния. Получено аналитическое представление функций в замкнутом виде.

Новые базисные функции применены к задаче потенциального рассеяния.

Показано, что эффективность предложенного метода сопоставима или вы­

ше по сравнению с существующими подходами.

Сделано обобщение квазиштурмовских функций на случай трёхчастичной

кулоновской системы. Предлагаемые функции получены в виде свёртки

двух квазиштурмовских (СКШ) функций от относительных координат

частиц. При этом выполнено аналитическое продолжение квазиштурмов­

ских функций в область комплексных импульсов и найден соответствую­

щий контур интегрирования.

Полученные СКШ функции использованы в качестве базисных при реше­

нии неоднородного уравнения Шредингера. Исследована сходимость реше­

ния в зависимости от числа используемых базисных функций. Результаты

для дифференциального сечения согласуются с экспериментальными дан­

ными по форме (но не по амплитуде) и расчётами других авторов.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность ре­

зультатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием совре­

менных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией

описываемых явлений, возможностью экспериментальной проверки получен­

ных решений. Правильность результатов проверялась сопоставлением получен­

ных данных с результатами теоретических расчетов других авторов и резуль­

татами экспериментов.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конфе­

ренциях:

Десятая региональная научная конференция «Физика: Фундаментальные

и прикладные исследования, образование» (Владивосток, 2011 г.);

Двенадцатая региональная научная конференция «Физика: Фундаменталь­

ные и прикладные исследования, образование» (Хабаровск, 2013 г.);

XVI краевой конкурс молодых учёных, Хабаровское отделение Института

прикладной математики ДВО РАН, (Хабаровск, 2014 г.);

Международная конференция «Nuclear Theory in the Supercomputer Era»

(Хабаровск, 2014 г.);

Международная конференция «Many Particle Spectroscopy of Atoms, Mo-

lecules, Clusters and Surfaces» (Мец, Франция, 2014 г.);

лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 86 страниц,

из них 77 страниц текста, включая 22 рисунка. Библиография включает 93

наименования на 9 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформу­

лированы цель и задачи исследований, аргументирована их научная новизна,

показана практическая значимость полученных результатов, представлены вы­

носимые на защиту научные положения.

В первой главе производится обзор существующих подходов к изучению

кулоновской задачи трёх тел. Во введении к первой главе (параграф 1.1 ) отме­

чаются трудности, возникающие при описании проблемы ионизации атомов, в

частности обсуждается вопрос учёта межэлектронных корреляций. Результаты

оценки степени влияния функции основного состояния атома гелия на величи­

ну матричного элемента перехода реакции двойной фотоионизации атома гелия

опубликованы в работах [1, 4].

В параграфе 1.2 приведено описание метода сильной связи каналов со схо­

димостью (CCC), в рамках которого приведено описание рассеяния на атоме во­

дорода электронным ударом. Данный подход позволяет описать состояние кон­

тинуума путём использования квадратично интегрируемых состояний. Главная

особенность метода состоит в использовании для описания состояния мишени

разложения по набору ортогональных L2 функций, которые образуют полный

7

Всероссийская молодежная научная конференция «Физика: Фундамен­

тальные и прикладные исследования, образование» (Благовещенск, 2014 г.);

XVII краевой конкурс молодых учёных, Хабаровское отделение Институ­

та прикладной математики ДВО РАН, (Хабаровск, 2015 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных рабо­

тах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [13], один тезис докладов [4]

и 2 статьи в сборниках трудов конференций [5, 6].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­

ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­

кованные работы. Автор принимал непосредственное участие, как на этапах

постановки задач, так и на этапах проведения аналитических расчётов, а так­

же обсуждения полученных результатов, на всех этапах, в работах, сделанных в

соавторстве с научным руководителем. Подготовка к публикации полученных

результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта

был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены

8

базис в гильбертовом пространстве. В этом подходе непрерывный спектр вы­

деленной двухчастичной подсистемы заменяется конечным набором уровней с

положительной энергией, внутренние состояния мишени используются в каче­

стве базиса для разложения полной волновой функции.

В параграфе 1.3 рассмотрены основные элементы J-матричного подхода

применительно к системе (e, e, He++). Данный метод описания состояний непре­

рывного спектра волновой системы трёх тел основан на дифференциальных

уравнениях Фаддеева-Меркурьева для компонент полной волновой функции

Ψ =

Ψα. При переходе к представлению полного орбитального момента (с

использованием разложения по базису бисферических функций) исходное урав­

нение преобразуется в систему уравнений для радиальных компонент волновой

функции [16]. Решение получается здесь в виде разложения по лагерровским

базисным функциям каждой из двух радиальных координат Якоби. При этом

исходная система уравнений сводится к уравнениям типа Липпмана-Швингера

относительно коэффициентов разложения [17].

В параграфе 1.4 проиллюстрировано применение метода обобщённых штур­

мовских функций (GSF) к задаче двукратной ионизации атома гелия электрон­

ным ударом (e, e, He++). Здесь проблема двойной ионизации атомов формули­

руется в виде неоднородного уравнения Шредингера с квадратично интегриру­

емой правой частью для трёхчастичной системы. В методе GSF также исполь­

зуется представление полного орбитального момента. Решение системы ради­

альных уравнений ищется в виде разложения по базисным функциям, которые

представляют собой произведение двух так называемых обобщённых штурмов­

ских функций (для каждого электрона).

В параграфе 1.5 приведено описание метода внешнего комплексного скей­

линга (ECS). Данный подход позволяет полностью избежать учёт граничных

условий ионизации. Основная идея метода заключается в том, что в уравнении

Шредингера радиальная координата поворачивается в комплексную плоскость.

В результате спектр гамильтониана искажается так, что энергии квазистацио­

нарных состояний приобретают их истинную мнимую часть, а энергии стаци­

онарных состояний не меняются. В методе ECS поворот производится не во

всей области определения, а только начиная с некоторой точки, определяющей

радиус, в пределах которого волновая функция является обычной функцией

вещественных координат.

Во второй главе предлагаются базисные функции, которые названы ква­

зиштурмовскими (КШ). Приведён способ получения введённых функций. В

параграфе 2.1 отмечены основные преимущества и недостатки J-матричного

подхода и метода GSF, элементы которых используются в данной работе.

В методе J-матрицы кулоновская функция Грина получена в удобной ана­

литической форме [18] через гипергеометрические функции, а короткодействую­

щий оператор потенциальной энергии представляется здесь в конечном подпро­

странстве L2 базисных функций. В результате обрезания базисного простран­

ства характеристики рассеяния на модельном потенциале испытывают осцилля­

α

+ V (r) - E Ψ(+)(r) = 0.

(1)

9

ции с увеличением числа используемых базисных функций [19]. Таким образом,

уже при решении двухчастичной задачи рассеяния в рамках метода J-матрицы

требуются дополнительные меры по ускорению сходимости. Метод штурмовсих

функций свободен от подобных недостатков. Однако, здесь базисные функции

находятся численно; причем зачастую генерация базиса представляет проблему,

едва ли не более сложную, чем сама задача рассеяния.

В отличие от обобщённых штурмовских КШ функции формально являют­

ся решениями неоднородного уравнения Шредингера, правая часть которого

содержит лагерровские L2 функции. Таким образом, КШ функции с заданным

асимптотическим поведением могут быть получены с помощью соответствую­

щей функции Грина в замкнутом аналитическом виде.

В параграфе 2.2 приводятся необходимые элементы метода J-матрицы и

метода обобщенных штурмовских функций. Волновая функция Ψ(+) состояния

рассеяния (мы рассматриваем расходящуюся волну) удовлетворяет уравнения

Шредингера

n!

Nn,ℓ =

,

(n + 2+ 1)!

(4)

-

1

d2

(+ 1)

2µ

dr2

r2

-

^

В рамках метода J-матрицы оператор потенциальной энергии U заменяется

своим представлением в конечном подпространстве квадратично интегрируе­

мых базисных функций:

N-1

^

^

^

⃒ ⃒

⃒ ⃒

m, ℓ⟩⟨m, ℓUn, ℓ⟩⟨n, ℓ;

m,n=0

U ⇒ UN =

m, ℓ n, ℓ = δm,n.

(2)

В случае рассеяния заряженных частиц используется лагерровский базис:

n, ℓ≡ φn,ℓ(λ, r) = Nn,ℓ e-λr (2λr)+1L2+1(2λr)

n

(3)

n, ℓ= φn,ℓ(λ, r)/r,

где λ – масштабный параметр. Приближение ΨN(+) искомой волновой функ­

ции Ψ получают в результате решения уравнения Липпмана-Швингера [20], в

котором вместо оператора U используется UN:

^

^

Ψ

= ΨC- Gℓ(+)UNΨN(+).

N(+)

^

^

где ΨC – регулярное кулоновское решение. Ядро оператора кулоновской функ­

ции Грина Gℓ(±) выражается через функции Уиттекера [21]:

Gℓ(±)(k; r, r′) =

M∓iα;+1/2(2ikr)W∓iα;+1/2(2ikr).

(5)

ik (2+ 1)!

µ Γ(+1 ±iα)

10

Уравнение (4) сводится к системе линейных уравнений порядка N:

a = S - GUa,

(6)

где a – вектор с компонентами an = n, ℓ

ΨN(+). Аналогично, компоненты

Snℓ вектора S совпадают с первыми N коэффициентами разложения кулонов­

ской волны, которые выражаются через полиномы Поллачека [14].

U и G

N ×N-матрицы операторов потенциальной энергии и функции Грина, соответ­

1 - exp - [α(n - N)/N]2

Um,n → σm Um,nσn,

σn =

1 - exp(2)

,

(9)

В свою очередь в подходе GSF проблема рассеяния формулируется в ви­

де неоднородного уравнения Шредингера теории возмущений. С этой целью

искомая волновая функция представляется в виде суммы

Ψ(+)(r) = ΨC(r) + Ψ(+)(r)

(10)

n, ℓ и Gℓ(+) ≡ m, ℓGℓ(+)n, ℓ . Явные

m,n

^

^

ственно, с элементами Um,n ≡ m, ℓU

m,n

выражения для матричных элементов Gℓ(±)(k; λ) были получены в работе [18]

с использованием двух независимых J-матричных решений [14]

Gℓ(±)(k; λ) =

Sn

,ℓ(k)Cn

,ℓ(k),

(7)

k

где n (n) – меньшее (большее) из m и n. Нерегулярное Cn,ℓ решение выража­

ется через функцию Поллачека второго рода [14, 22]. В свою очередь искомая

функция ΨN(+) выражается через компоненты an вектора a = [I + GU]-1 S

следующим образом:

2µ

(±)

m,n

(±)

N-1

Ψ

= ΨC-

n=0

где cn – компоненты вектора c = Ua.

N(+)

n, ℓ,

(8)

^

cnGℓ(+)

^

^

Таким образом, замена оператора потенциальной энергии U → UN (2)

в сочетании с представлением коэффициентов Sn,ℓ и элементов Gℓ(±) матри­

цы функции Грина в аналитическом виде позволяет легко получать (точное)

решение уравнения (4). Однако, обрезание матрицы потенциала приводит к

осцилляциям фазы рассеяния δℓ, которые наблюдаются с увеличением ранга

^

дельного пространства предлагается, снабдить матричные элементы Um,n потен­

циала сглаживающими множителями σn [20]. Таким образом, для улучшения

сходимости делается замена

m,n

N

N потенциала UN. Для достижения сходимости с разумными размерами N мо­

N

N

N

N

sc

(11)

(12)

Решение уравнения (11) ищется в виде разложения

Ψ(+)(r) =

cn,ℓ Sn,ℓ (r)

n

- E Sn,ℓ (r) = -βn

Sn,ℓ (r).

(13)

r

Таким образом, в данном подходе ищется приближенное решение (12) точно­

го уравнения (11), а не наоборот, как имеет место в методе J-матрицы (см.

уравнение (4)). Однако, сама процедура (как правило численная) построения

базиса штурмовских функций требует усилий, сопоставимых с затраченными

на решение самой задачи рассеяния.

В параграфе 2.3 дается определение КШ функций с различным асимпто­

тическим поведением и приводятся различные их представления. Сравнение

формул (10), (12) и выражения (8) позволяет предположить, что разложение

рассеянной волны Ψ(+)

N-1

11

кулоновской волны и так называемой рассеянной волны Ψ(+). Подстановка (10)

в (1) приводит к следующему неоднородному уравнению относительно Ψ(+):

(14)

(15)

по функциям

Q(+)(r) ≡ Gℓ(+)

+

+ U(r) - E Ψ(+)(r) = -U(rC(r).

r

sc

sc

sc

-

1

d2

(+ 1)

Z1Z2

-

2µ

dr2

r2

(+)

sc

(+)

хающие на бесконечности) штурмовские функции (см., например, [23]), так и

Штурма-Лиувилля. Базис здесь генерируется уравнением

по базисным функциям Sn,ℓ (r), в качестве которых используются как (зату­

обобщенные штурмовские функции [24] с заданным асимптотическим поведени­

ем, которые являются собственными решениями соответствующего уравнения

Z1Z2

(+)

(+)

-

1

d2

(+ 1)

2µ

dr2

r2

-

sc

n,ℓ

Ψ(+)(r) =

cn,ℓ Q(+)(r),

n=0

sc

n, ℓ

^

n,ℓ

может оказаться сопоставимым по эффективности с представлением (12). Функ­

ции Q(+), удовлетворяющие неоднородному уравнению

n,ℓ

+

- E

r

1

r

Q(+)(r) = φn,ℓ(r),

(16)

n,ℓ

-

1

d2

(+ 1)

Z1Z2

-

2µ

dr2

r2

названы квазиштурмовскими – по аналогии (с их использованием в решении

задачи рассеяния) со штурмовскими функциями Sn,ℓ (r). Квази-штурмовские

(+)

(17)

12

функции с заданными асимптотическими свойствами можно получить (в отли­

чие от штурмовских функций) в замкнутом аналитическом виде.

Использование интегрального представления для произведения функций

Уиттекера M и W позволяет получить для Q(+)(r) следующее интегральное

представление:

1

Q(±)(r) = 2µNn,ℓ e-λr

(1 - z)ℓ±iα(1 - ω±1z)ℓ∓iα(1 - z - ω±1z)n

(2λr)+1

(λ ∓ ik)

0

n,ℓ

(1 - z)(1 - ω±1z)

(1 - z - ω±1z)

× exp (z [λ ± ik] r) L2+1 2λr

dz,

где ω =

.,

Коэффициенты разложения КШ функций по лагерровскому базису (3)

вычисляются путем умножения выражения (15) на n, ℓ⃒ и интегрированием по

r. В результате получаем

Q(±)(r) =

φm,ℓ(λ, r)Gℓ(±)(k; λ).

(18)

m=0

Подставляя (5) в (15) и переходя к пределу r → ∞, получаем, с учетом вида

Snℓ и асимптотического представления функции Уиттекера W, для квазиштур­

мовских функций при больших r:

n

λ+ik

λ-ik

n,ℓ

n,ℓ

m, n

2µ

An,ℓ =

Sn,ℓ(k),

(19)

k

Γ(+1+)

|Γ(+1+)|

где σℓ =

– кулоновская фаза.

В параграфе 2.4 иллюстрируется применение КШ функций в двухчастич­

ной задаче рассеяния, исследуется скорость сходимости результатов с увеличе­

нием числа используемых КШ функций.

В качестве примера рассмотрена задача s-волнового рассеяния частицы

массой µ = 1 и импульсом k = 1 на комбинации кулоновского потенциала с

Z1Z2 = 1 и потенциала Юкавы

e-ar

U(r) = b

,

a = 1.3, b = 1.

(20)

r

Исследована сходимость решения с ростом числа N членов разложения (14).

Масштабный параметр λ базиса (3) был выбран таким образом, чтобы обеспе­

чить осцилляции Q(+) с различными частотами для разных n в области дей­

ствия потенциала U (см. рис. 1), – вне этой области КШ функции совпадают с

точностью до множителя An,0 (19). В результате использования такого набора

n,0

2

πℓ

Q(±)(r) ∼ An,ℓe±i(kr-α ln(2kr)-

+σℓ),

r→∞

n,ℓ

интегралами

dm = -

dr φm,0(λ, r)U(rC(r).

(22)

0

13

Рис. 1. Вещественные части первых шести КШ функций для потенциала VC = .

КШ функций в расчетах Фурье анализ имеет место только на физически со­

держательном интервале, что в свою очередь позволяет минимизировать число

N. Таким образом, для потенциала (20) было найдено оптимальным значение

масштабного параметра λ = 2.6.

Система уравнений относительно неизвестных коэфициентов cn,ℓ в данном

примере получена путем подстановки (14) в исходное уравнение (11), умноже­

нием его на ⟨m, 0| и интегрированием по r. В результате дискретная версия

уравнения (11) принимает вид

[I + U] c = d.

(21)

Компоненты dm, m = 0,..., N - 1, вектора d в правой части (21) задаются

В свою очередь элементы Um,n N × N-матрицы U определяются выражением

Um,n =

dr φm,0(λ, r) U(r) Q(+)(r).

(23)

0

Присутствие единичной N × N-матрицы I в левой части (21) следует из урав­

нения (16) для КШ функций и соотношения ортогональности. Заметим, что в

нашем подходе, в отличие от метода J-матрицы, представление короткодейству­

ющего потенциала U не ограничивается конечной матрицей.

Расчеты демонстрируют быструю сходимость метода: результаты вычис­

ления вещественной и мнимой частей рассеянной волны Ψ(+) с ростом N стано­

вятся неразличимыми уже при N ≥ 15 (см. рис. 2). Тогда как для достижения

(+)

1

r

0

n,0

sc

того же результата требуется 30 - 35 обобщенных штурмовских функций Sn,0.

14

Рис. 2. Сходимость рассеянной волны Ψ(+) для вещественной (слева) и мнимой (справа)

частей с ростом числа N.

Из асимптотического поведения КШ функций (19) следует представление

кулоновски-модифицированной парциальной амплитуды рассеяния fℓ:

N-1

fℓ ≡

(e2iδ - 1) =

cn,ℓSn,ℓ(k).

(24)

2ik

k2

n=0

На рис. 3 представлена сходимость фазы s-волнового рассеяния δ0(k) с ростом

N, на рис. 4 приведены фазы рассеяния δ0, отвечающие потенциалам UN (2),

а также тем же потенциалам (2), но преобразованными в соответствии с (9).

Рис. 3. Сходимость фазы s-волнового рассеяния на комбинации потенциала Юкавы и куло­

новского взаимодействия в зависимости от числа N используемых КШ функций.

Сравнение рис. 3 и 4 демонстрирует преимущество предлагаемого подхо­

да. Действительно, лишь после добавлении сглаживающих множителей (9) к

элементам матрицы потенциала (2) скорость сходимости результатов вычисле­

ний, выполненных в рамках метода J-матрицы, становится сопоставимой с

достигнутой в наших расчетах. Тем самым демонстрируется эффективность

1

2µ

sc

N

15

Рис. 4. Фазы рассеяния δ0 на комбинациях кулоновского взаимодействия и нелокального

сепарабельного UN (2) потенциала переменного ранга N для случая потенциалов (2) (слева)

и преобразованных (9) потенциалов (2) (справа).

применения КШ функций к двухчастичной задаче рассеяния. Скорость сходи­

мости результатов расчетов оказалась сравнимой или выше, чем при исполь­

зовании методов J-матрицы и обобщенных штурмовских функций. При этом

КШ функции обладают очевидным преимуществом, поскольку допускают пред­

ставление в замкнутом аналитическом виде.

Результаты второй главы опубликованы в работах [2, 5].

В третьей главе реализовано обобщение квазиштурмовских функций на

случай задачи трёх тел. Описан метод получения двухчастичных квазиштур­

мовских функций в виде интеграла свёртки ранее введённых одночастичных

КШ функций. В параграфе 3.1 ставится задача получения и применения двух­

частичных КШ функций.

В параграфе 3.2 описывается геометрия процесса двойной ионизации ато­

ма гелия ударом высокоэнергетического электрона (e, e, He++). Описывается

методика проведения эксперимента для изучения процесса [25]. Особенностью

эксперимента является то, что импульсы регистрируемых частиц лежат в од­

ной плоскости, которая определяется векторами импульсов налетающего ki и

рассеянного kf электронов (см. рис. 5). При этом атому мишени передаётся им­

пульс q = kf - ki. Выбитые электроны регистрируются с импульсами k1 и k2

с использованием двух идентичных детекторов.

В параграфе 3.3 приведён способ решения неоднородного уравнения Шрё­

дингера системы трёх тел (e, e, He++) с использованием свёртки квазиштурмов­

ских (СКШ) функций. Изложен способ получения последних.

В рамках подхода к описанию (e, 3e) процесса, изложенного в работе [26],

четырёхчастичное уравнение Шредингера сводится к следующему неоднород­

ному уравнению для системы трёх тел:

E - H Φ(+)(r1, r2) = Wfi(r1, r2)Φ(0)(r1, r2).

(25)

2

2

E =

+

— энергия выбитых электронов. Трёхчастичный гамильтониан

N

^

^

sc

k1

k2

2

2

1

4π

(2π)3 q2

Предлагается искать решение неоднородного уравнения (25) в виде разло­

жения искомой функции:

16

Рис. 5. Геометрия процесса двойной ионизации атома гелия ударом электрона.

задается выражением

по базису

|n11n22; LM⟩Q ≡

1

2πi

C3

(28)

(29)

1

^

^

^

H = H1 + H2 +

,

r12

1

2

^

Hj = - △r -

j

2

rj

,

j = 1, 2.

(26)

Φ(0)(r1, r2) — волновая функция основного состояния атома гелия. Оператор

возмущения Wfi записывается как

^

1

2

(-2 + eiq·r + eiq·r ),

(27)

^

Wfi(r1, r2) =

N-1

Φ(+)(r1, r2) =

Cn n2

1

L,ℓ1,ℓ2 n1,n2=0

n11n22; LM

Q

L(12)

sc

1

n1n2

Qℓ ℓ2(+)(E; r1, r2)

r1r2

12

YLM (^1, ^2),

r r

12

1

n1n2

где YLM – сферические гармоники. При этом полагается, что каждая из функ­

ций Qℓ ℓ2(+) удовлетворяет радиальному уравнению

1

2

E - hℓ - hℓ Q(ℓ ℓ2)(+)(E; r1, r2) =

,

(30)

r1r2

где hℓ = -1 2 +

- , ψn — лагерровские базисные функции (λ — веще­

ственный масштабный параметр), которые ортогональны с весом.

По аналогии с интегральным представлением для функции Грина G(ℓ ℓ2)(+)(E)

[27] решение уравнения (30) относительно Q(ℓ ℓ2)(+)(E; r1, r2) ищется в виде:

ψn (r1)ψn (r2)

1

2

1

n1n2

1

2

^1

^2

(+1)

1

2

2 ∂r2

2

r2

r

^

1

r

^ 1

1

n1n2

1

n1n2

Q(ℓ ℓ2)(+)(E; r1, r2) =

dE Qℓ (+)( 2E; r1)Qℓ (+)(

2(E - E); r2),

(31)

1

2

n1

n2

17

где Qℓ (+) – одночастичные КШ функции. Контур интегрирования выражения

(31) деформируется таким образом, что результирующий контур C3, показан­

ный на рис. 6, асимптотически приближается к вещественной оси. В частности,

энергия E вдоль контура C3 параметризуется функцией

(E - t)

E = t + iD

,

(32)

1 + t2

где D — положительная константа, а t пробегает от до -∞. Для вычисления

КШ функций Qℓ (+) на контуре выполнено аналитическое продолжение (17) в

область комплексных k.

Рис. 6.

интегрирования свёртки (31). Полюса, соответствующие собственным энергиям

Gℓ

(+)( 2E), отмечены кружками. Серая линия - полоса разреза листов. Деформированный

контур C3 асимтотически приближающийся к оси энергии.

Асимптотическое поведение КШ функций (31) в случае, когда r1 → ∞

и r2 → ∞ одновременно (при постоянном tan(φ) = r2/r1, где φ — гиперугол)

получается заменой Qℓ (+) и Qℓ (+) их асимптотическим приближением (19) с

последующим применением метода стационарной фазы для оценки результиру­

ющего интеграла. Асимптотика имеет вид:

(33)

-2

p1

2

j

nj

j

nj

1

2

n1

n2

1

2

1

1

4

Q(ℓ ℓ2)(+)(E; r1, r2)

(2E)3/4e Sn ℓ1(p1)Sn ℓ2(p2)

ρ→∞

n1n2

1

2

E

π

ρ

×ei

2Eρ-α1 ln(2p1r1)2 ln(2p2r2)+σℓ1(p1)+σℓ2(p2)-

.

π(1+2)

2

где ρ =

r1 + r2 — гиперрадиус, p1 = cos(φ) 2E, p2 = sin(φ) 2E, α1 =

,

α2 =

.

Из сравнения асимптотических свойств решения Φ(+)(r1, r2) и вида трёхча­

стичной кулоновской функции Грина следует выражение для матричного эле­

2

2

-2

p2

sc

Путь

1

мента перехода

×

YLM (^1, ^2) exp i σℓ (p1) + σℓ (p2) -

(34)

(35)

(36)

12L

N-1

×

Cn n2 Sn ℓ1(p1)Sn ℓ2(p2).

1

n1,n2=0

Дифференциальное сечение процесса

d5σ

dΩ1dΩ2dΩfdE1dE2

1

kfk1k2

18

exp {-i [W0(r1, r2) + α1 ln(2p1r1) + α2 ln(2p2r2)]}

(2π)2

проблемы двойной ионизации He электронным ударом. Исследована сходимость

дифференциального сечения с ростом числа N одночастичных КШ функций

Qℓ (+) и Qℓ (+), n1, n2 = 0,..., N - 1 (15), используемых в расчетах. Сходимость

результатов демонстрируется на рис. 7, где показано FDCS (35) при θ1 = 27,

вычисленное с различными N. Этот результат удивляет, учитывая недостаток

асимптотического поведения CКШ базисных функций (31), которое приводит к

некомпактности уравнения (25). На рис. 8 приведены результаты для FDCS (35)

при различных значениях θ1 в сравнении с экспериментальными данными [25].

Здесь также изображены результаты CCC расчетов [28]. ССС результаты хо­

рошо согласуются с результатами предложенного метода и с экспериментом по

форме, но не по абсолютной величине.

Заметим, что при построении базиса не были учтены межэлектронные

корреляции, и, следовательно, асимптотическое поведение базисных функций

не могло быть корректным. Таким образом, уравнение (25), решение которо­

го раскладывается по этим базисным функциям является некомпактным (из­

за присутствия кулоновского потенциала 1/r12 в левой части уравнения). Тем

удивительнее сходимость разложения (28), достигнутая в расчетах. Возможно,

использование фазовых множителей, отвечающих электрон-электронным кор­

реляциям, позволит преобразовать уравнение задачи в компактное.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [3, 6].

=

1

2

Tk ,k =

(4π)2

E sin(2φ)

12

r r

π(1 + 2)

2

1

2

L(12)

1

2

2

S

T

1

2

ki

k′,k

S

k′,k

выражается через “редуцированную” амплитуду T

1

2

Tk ,k + Tk ,k′.

1

2

2

1

1

S

k′,k

0

T

= ei[W (r1,r2)+α1 ln(2p1r1)+α2 ln(2p2r2)]

1

2

2

В параграфе 3.4 осуществлён переход к матричному аналогу неоднород­

ного уравнения для трёхчастичной системы (25) относительно коэффициентов

L(12)

Cn n2.

1

В параграфе 3.5 описано применение разработанного подхода к решению

1

2

n1

n2

19

Рис. 7. Сходимость пятикратоного сечения рассеяния (FDCS) (35) для He(e, 3e)He++ реакции

с ростом N.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационного

исследования.

Для описания состояний континуума кулоновской системы предложены

новые квазиштурмовские функции. КШ функции с заданными асимпто­

тическими свойствами получены как решение неоднородного уравнения

Шредингера. Применение кулоновской функции Грина позволяет пред­

ставить КШ функции в замкнутом аналитическом виде.

Эффективность разложения исследована на примере потенциального рас­

сеяния. Показано, что скорость сходимости сопоставима или выше по срав­

нению с существующими подходами.

Построены КШ функции для трёхчастичной кулоновской системы. Пред­

лагаемые функции получены в виде свёртки двух квазиштурмовских функ­

ций от относительных координат частиц. При этом выполнено аналити­

ческое продолжение квазиштурмовских функций в область комплексных

импульсов и найден соответствующий контур интегрирования.

Полученные СКШ функции использованы в качестве базисных при реше­

нии неоднородного уравнения Шредингера, соответствующего процессу

(e, 3e) на атоме гелия. Показано, что метод позволяет достичь высокой

скорости сходимости решения.

Расчёты дифференциальных сечений согласуются с результатами одного

из наиболее точных ab initio подходов – CCC метода. Таким образом, ре­

зультаты расчётов описывают форму экспериментальной кривой сечения,

но отличаются от него по абсолютной величине.

20

Рис. 8. Пятикратное сечение (35) для разных углов фиксирования первого электрона θ1 в

зависимости от угла вылета второго θ2. Сплошная линия соотвествует расчётам с использо­

ванием КШ функций, пунктирная – расчётам по методу CCC [28]. Проводится сравнение с

экспериментальными данными [25].

21

Список публикаций по теме диссертации

1. Алёшин М. С., Зайцев С. А. Исследование роли начального состояния в опи­

сании процесса двойной фотоионизации атома гелия // Вестник Тихоокеан­

ского государственного университета. 2011. Т. 3(22). С. 13–18.

2. Алёшин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Квазиштурмовские

функции в задачах непрерывного спектра // Известия высших учебных за­

ведений. Физика. 2014. Т. 57. С. 25–32.

3. Алёшин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Квази-штурмовские

функции в задачах трехчастичного кулоновского континуума // Известия

высших учебных заведений. Физика. 2015. Т. 58. С. 62–70.

4. Алёшин М. С., Зайцев С. А. Роль начального состояния в описании процесса

двойной фотоионизации атома // Физика: фундаментальные и прикладные

исследования, образование: Тезисы докладов десятой региональной научной

конференции. Владивосток: 2011. С. 8.

5. Алёшин М. С., Зайцев С. А., Гасанео Г., Анкарани Л. У. Применение бази­

са квазиштурмовских функций к решению задач непрерывного спектра //

Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: мате­

риалы XII региональной науч. конф., Хабаровск, 28-31 октября 2013 г. Ха­

баровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2013. С. 3–9.

6. Алёшин М. С., Зайцев С. А. Квази-штурмовский базис в (e, 3e) реакции //

Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: Ма­

териалы Всероссийской молодёжной научной конференции. Благовещенск:

Амурский гос. ун-т, 2014. С. 7–10.

Список цитируемой литературы

7. Merkuriev S. P. On the three-body Coulomb scattering problem // Ann. Phys.

1980. Vol. 130. P. 395–426.

8. Brauner M., Briggs J. S., Klar H. Triply-differential cross sections for ionization

of hydrogen atoms by electrons and positrons // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.

1989. Vol. 22. P. 2265–2287.

9. Mukhamedzhanov A. M., Lieber M. Asymptotic wave function for three charged

particles in the continuum // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54. P. 3078–3085.

10. Alt E. O., Levin S. B., Yakovlev S. L. Coulomb Fourier transformation: A novel

approach to three-body scattering with charged particles // Phys. Rev. C. 2004.

Vol. 69. P. 034002–1–034002–11.

11. Kuchiev M. Y., Ostrovsky V. N. Threshold laws for the breakup of atomic parti­

cles into several charged fragments // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. P. 321–335.

12. Bray I., Fursa D. V., Kheifets A. S., Stelbovics A. T. Electrons and photons col­

liding with atoms: development and application of the convergent close-coupling

method // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2002. Vol. 35. P. R117–R146.

22

13. Baertschy M., Rescigno T. N., Isaacs et al. Electron-impact ionization of atomic

hydrogen // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 63. P. 022712–1–022712–19.

14. Yamani H. A., Fishman L. J-matrix method: extension to arbitrary angular mo­

mentum and to Coulomb sacttering // J. Math. Phys. 1975. Vol. 16. P. 410–420.

15. Kadyrov A. S., Mukhamedzhanov A. M., Steblovics A. T., Bray I. Inte­

gral Representation for Electron-Atom Ionization Amplitude which is Free of

Ambiguity and Divergence Problems // Phys. Rev. Lett.

2003.

Vol. 91.

P. 253202–1–253202–4.

16. Зайцев С. А., Кныр В. А., Попов Ю. В. Описание непрерывного спектра

трехчастичной кулоновской системы в J-матричном подходе // Ядерная

физика. 2007. Т. 70. С. 706–713.

17. Зайцев С. А. Алгебраический подход в квантовой теории рассеяния двух

и трёх частиц: Докторская диссертация / Тихоокеанский государственный

университет. 2009.

18. Heller E. J. Theory of J-matrix Green’s functions with applications to atomic

polarizability and phase-shift error bounds // Phys. Rev. A. 1975. Vol. 12.

P. 1222–1231.

19. Papp Z. Potential separable expansion approach to scattering on Coulomb-like

potentials // Phys. Rev. C. 1988. Vol. 38. P. 2457–2460.

20. Révai J., Sotona M., Zofka J. Note on the use of harmonic-oscillator wavefunc­

tions in scattering calculations // J. Phys. G: Nuclear Physics. 1985. Vol. 11.

P. 745.

21. Hostler L. Coulomb Green’s Functions and the Furry Approximation // J. Math.

Phys. 1964. Vol. 5. P. 591.

22. Broad J. T. Calculation of two-photon processes in hydrogen with an L2 basis //

Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31. P. 1494–1514.

23. Rotenberg M. Application of sturmian functions to the Schroedinger three-body

problem: Elastic e+ - H scattering // Ann. Phys. NY. 1962. Vol. 19. P. 262.

24. Mitnik D. M., Colavecchia F. D., Gasaneo G., Randazzo J. M. Computational

methods for Generalized Sturmians basis // Comp. Phys. Comm.

182. P. 1145.

2011. Vol.

25. Kheifets A., Bray I., Lahmam-Bennani A. et al. A comparative experimental

and theoretical investigation of the electron-impact double ionization of He in

the keV regime // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1999. Vol. 32. P. 5047–5065.

26. Gasaneo G., Mitnik D. M., Randazzo J. M. et al. S-model calculations for

high-energy-electron-impact double ionization of helium // Phys. Rev. A. 2013.

Vol. 87. P. 042707.

27. Shakeshaft R. Integral representation of the Coulomb Green function derived

from the Sturmian expansion // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. P. 042704.

28. Kheifets A., Bray I. Convergent calculations of double ionization of helium: From

(γ, 2e) to (e, 3e) processes // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69. P. 050701.

˘



 
Похожие работы:

«Селиверстова Светлана Юрьевна ПСИХОЛОГО-АКМЕОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ МОТИВАЦИИ У БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ ЭКОНОМИКО-УПРАВЛЕНЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ Специальность: 19.00.13 – психология развития, акмеология (психологические науки) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук Кострома 2015 Краснощеченко Ирина Петровна, доктор психологических наук, профессор кафедры Научный руководитель: социальной и организационной...»

«ИВАНОВ ЭРНЕСТ СЕРГЕЕВИЧ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ КОМПРЕССОРНЫХ СТАНЦИЙ В УСЛОВИЯХ СНИЖЕННОЙ ЗАГРУЗКИ МАГИСТРАЛЬНЫХ ГАЗОПРОВОДОВ Специальность 25.00.19 – Строительство и эксплуатация нефтегазопроводов, баз и хранилищ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Уфа 2016 Научный руководитель Официальные оппоненты: Китаев Сергей Владимирович доктор технических наук, доцент Калинин Александр Федорович, доктор технических наук, профессор...»

«НОГОВИЦЫНА КСЕНИЯ АЛЕКСАНДРОВНА СВЕТСКИЙ ВОКАЛЬНО-ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ КОНЦЕРТ В ТВОРЧЕСТВЕ БЬЯДЖО МАРИНИ И ЕГО СЕВЕРОИТАЛЬЯНСКИХ СОВРЕМЕННИКОВ Специальность 17.00.02 ― Музыкальное искусство Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата искусствоведения Москва — 2015 Научный руководитель: Официальные оппоненты: Ведущая организация: кандидат искусствоведения, доцент Насонов Роман Александрович Cусидко Ирина Петровна, доктор искусствоведения, профессор...»





 
© 2015 www.z-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.